Corrigé Banque PT 2025 Informatique et modélisation PT — Partie A (Q1 à Q7) : Satellite GPS : gravitation, troisième loi de Kepler et trace au sol

Sujet officiel du concours Banque PT, session 2025, épreuve Informatique et modélisation PT. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Sujet officiel (PDF, site du concours)

Énoncé

Un satellite GPS (point matériel $M$ , masse $m = 700 kg$ ) décrit autour de la Terre (point $O$ , masse $M_{T} = 6 \times 1 0^{24} kg$ , rayon $R_{T} = 6400 km$ ) un cercle d'altitude $h = 20000 km$ , repéré en coordonnées polaires $(r, θ)$ . $G = 6, 7 \times 1 0^{- 11} SI$ . Calculatrice interdite ; aide : $2, 6^{2} ≃ 6, 7$ .

Figure 3 — Repérage en coordonnées polaires dans le plan du mouvement.

Q1. Force subie par le satellite et sa norme ; champ de gravitation $g (M)$ en fonction de $m$ , $M_{T}$ , $h$ , $R_{T}$ , $G$ (sans démonstration).
Q2. Terre sphérique homogène : justifier qu'à l'extérieur son champ est celui d'un point matériel placé en $O$ portant toute sa masse.
Q3. Par la deuxième loi de Newton, justifier $v^{2} = G M_{T} / r$ et l'uniformité du mouvement circulaire.
Q4. En déduire la troisième loi de Kepler (orbite circulaire).
Q5. Calculer la période $T_{GP S}$ en secondes ; comparer à celle d'un satellite géostationnaire.

La figure 4 du sujet est un planisphère portant la trace au sol du satellite ; on la redessine sans les continents, avec les lieux du tableau (figure 5).

Figure 4 — Trace au sol d'un satellite GPS (redessinée, continents omis).

Lieu	Paris	Londres	Édimbourg	New York	Tokyo	Cap Horn
Latitude	$48, 5^{\circ}$ N	$51, 3^{\circ}$ N	$55, 6^{\circ}$ N	$40, 4^{\circ}$ N	$35, 4^{\circ}$ N	$55, 6^{\circ}$ S
Longitude	$2, 2^{\circ}$ E	$0, 1^{\circ}$ O	$3, 1^{\circ}$ O	$7 4^{\circ}$ O	$139, 4^{\circ}$ E	$67, 2^{\circ}$ O

Figure 5 — Latitudes et longitudes de quelques lieux.

Q6. Évaluer à $\pm 5^{\circ}$ près l'inclinaison $α$ du plan de l'orbite sur le plan équatorial.
Q7. La révolution a le sens de la rotation propre de la Terre : sur la figure 4, le satellite va-t-il vers la droite ou vers la gauche ? Période du phénomène « le satellite repasse à la verticale d'un même point » ?

Corrigé

Q1. Le satellite, à la distance $r = R_{T} + h$ du centre $O$ de la Terre, subit la force d'attraction gravitationnelle de Newton (on néglige l'attraction de la Lune et du Soleil) :

$F = - \frac{G M _{T} m}{( R _{T} + h ) ^{2}} e_{r}$

Elle est attractive, dirigée de $M$ vers $O$ . Avec $R_{T} + h = 26400 km \approx 2, 6 \times 1 0^{7} m$ et l'aide $2, 6^{2} ≃ 6, 7$ , donc $(R_{T} + h)^{2} \approx 6, 7 \times 1 0^{14} m^{2}$ :

$F = \frac{6 , 7 \times 1 0 ^{- 11} \times 6 \times 1 0 ^{24} \times 700}{6 , 7 \times 1 0 ^{14}} = 6 \times 7 \times 1 0^{1} N \approx 4 \times 1 0^{2} N .$

(Le calcul exact avec $26400 km$ donne $404 N$ .) Le champ de gravitation créé par la Terre en $M$ est la force par unité de masse du point d'épreuve ; il ne dépend pas de $m$ :

$g (M) = \frac{F}{m} = - \frac{G M _{T}}{( R _{T} + h ) ^{2}} e_{r} g \approx 0, 6 m \cdot s^{- 2} .$

Ce que le correcteur attend : le carré de la distance au centre ( $R_{T} + h$ , pas $h$ ), le signe moins devant $e_{r}$ , et l'absence de $m$ dans $g$ bien que l'énoncé la cite.

Q2. On utilise l'analogie entre gravitation et électrostatique ( $E \leftrightarrow g$ , $q \leftrightarrow m$ , $\frac{1}{4 π ε _{0}} \leftrightarrow - G$ ), qui transpose le théorème de Gauss :

$\oint \oint_{Σ} g \cdot d S = - 4 π G M_{int} .$

Symétries. La masse volumique ne dépend que de la distance au centre. Tout plan contenant $O$ et $M$ est plan de symétrie de la distribution : $g (M)$ appartient à tous ces plans, donc $g = g e_{r}$ (coordonnées sphériques).
Invariances. La distribution est invariante par toute rotation autour de $O$ : $g$ ne dépend que de $r$ .
Surface de Gauss. La sphère $Σ$ de centre $O$ et de rayon $r > R_{T}$ contient toute la masse $M_{T}$ . Le flux vaut $g (r) \times 4 π r^{2}$ .

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