Corrigé Banque PT 2025 Informatique et modélisation PT — Partie B (Q8 à Q14) : Signal GPS : onde plane, vecteur de Poynting et puissance émise

Q8. Dans le vide sans charges ni courants ($\rho =0$, $\overrightarrow{ȷ}=\overrightarrow{0}$), les équations de Maxwell s'écrivent

$$\mathrm{div}\overrightarrow{E}=0,\mathrm{div}\overrightarrow{B}=0,\overrightarrow{\mathrm{rot}}\overrightarrow{E}=-\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t},\overrightarrow{\mathrm{rot}}\overrightarrow{B}={\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}.$$

On prend le rotationnel de Maxwell-Faraday, on permute les dérivations spatiale et temporelle et on reporte Maxwell-Ampère :

$$\overrightarrow{\mathrm{rot}}(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\overrightarrow{E})=-\frac{\partial }{\partial t}\left(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\overrightarrow{B}\right)=-{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{{\partial }^2\overrightarrow{E}}{\partial t^2}.$$

Avec l'identité $\overrightarrow{\mathrm{rot}}(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\overrightarrow{E})=\overrightarrow{\mathrm{grad}}(\mathrm{div}\overrightarrow{E})-\Delta \overrightarrow{E}$ et Maxwell-Gauss ($\mathrm{div}\overrightarrow{E}=0$), on obtient l'équation de d'Alembert

$$\boxed{\Delta \overrightarrow{E}-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2\overrightarrow{E}}{\partial t^2}=\overrightarrow{0}}\text{avec}\boxed{{\mu }_0{\epsilon }_0{c}^2=1}$$

(${\mu }_0=1/({\epsilon }_0{c}^2)\approx 1,26\times 10^{-6}\mathrm{H}\cdot {\mathrm{m}}^{-1}$ avec les données, valeur cohérente avec $4\pi \times 10^{-7}$).

Q9. La phase $\omega t+kz$ est constante quand $z$ décroît au cours du temps ($z=\text{cte}-\omega t/k$) : l'onde se propage selon $-{\overrightarrow{e}}_z$. Comme elle va du satellite vers le récepteur, ${\overrightarrow{e}}_z$ est vertical ascendant, orienté de $R$ vers $S$. La base étant directe, avec ${\overrightarrow{e}}_x$ horizontal vers la droite et ${\overrightarrow{e}}_z$ vers le haut, ${\overrightarrow{e}}_y={\overrightarrow{e}}_z\wedge {\overrightarrow{e}}_x$ est entrant dans la feuille.

• Direction de propagation : l'axe $Oz$, vertical ;
• sens : vers les $z$ décroissants (du satellite vers le sol), vecteur unitaire $\overrightarrow{u}=-{\overrightarrow{e}}_z$ ;
• polarisation : rectiligne selon ${\overrightarrow{e}}_x$ (le champ garde une direction fixe), perpendiculaire à la direction de propagation : l'onde est transverse.