Corrigé Banque PT 2025 Informatique et modélisation PT — Partie C (Q15 à Q22) : Retard troposphérique : atmosphère isotherme et indice de l'air

Sujet officiel du concours Banque PT, session 2025, épreuve Informatique et modélisation PT. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Sujet officiel (PDF, site du concours)

Énoncé

La distance satellite-récepteur se déduit du temps de propagation $Δ t$ par $d = c Δ t$ , mais dans l'air la vitesse n'est pas exactement $c = 3 \times 1 0^{8} m \cdot s^{- 1}$ . On ne considère que la troposphère, couche de $L = 50 km$ au-dessus du sol ; satellite à la verticale du récepteur, altitude $z$ comptée depuis le sol.

Figure 6 — Repérage de l'altitude.

Données : $M_{air} = 29 g \cdot mo l^{- 1}$ , $R = 8, 3 SI$ , $P_{0} = 1 bar$ , $T = T_{0} = 270 K$ uniforme, $g = 9, 8 m \cdot s^{- 2}$ . Loi de Gladstone : $n = 1 + K ρ$ .

Q15. Masse volumique $ρ$ de l'air (gaz parfait) en fonction de $M_{air}$ , $P$ , $R$ , $T$ ; valeur au sol.
Q16. Montrer que $n = 1 + K^{'} P / T$ ; on prend $K^{'} = 7, 8 \times 1 0^{- 7} SI$ . Unité de $K^{'}$ ?
Q17. Atmosphère isotherme : montrer que $P = P_{0} exp (- z / H)$ et exprimer $H$ .
Q18. Calculer $H$ et $P (H)$ (aide : $e^{- 1} ≃ 0, 37$ ).
Q19. Montrer que $n = 1 + α P_{0} exp (- z / H)$ ; expression et valeur de $α$ .
Q20. Montrer que la durée de traversée verticale d'une épaisseur $d z$ est $d t = (1/ c) (1 + α P_{0} exp (- z / H)) d z$ .
Q21. En déduire la durée $Δ t$ de traversée des $L = 50 km$ en fonction de $c$ , $L$ , $α$ , $P_{0}$ , $H$ .
Q22. Retard supplémentaire $t_{sup}$ par rapport au vide ; valeur numérique et erreur sur la distance (aide : $e^{- 6, 25} ≃ 0, 002$ ).

Corrigé

Q15. Pour une masse $m$ d'air occupant le volume $V$ , la quantité de matière vaut $n_{mol} = m / M_{air}$ et l'équation d'état du gaz parfait $P V = n_{mol} R T$ donne

$ρ = \frac{m}{V} = \frac{P M _{air}}{R T}$

Au sol ( $P_{0} = 1 0^{5} Pa$ , $T_{0} = 270 K$ , $M_{air} = 29 \times 1 0^{- 3} kg \cdot mo l^{- 1}$ ) :

$ρ_{0} = \frac{1 0 ^{5} \times 29 \times 1 0 ^{- 3}}{8 , 3 \times 270} = \frac{2900}{2241} \approx 1, 3 kg \cdot m^{- 3} .$

Ce que le correcteur attend : les unités SI ( $P$ en pascals, $M$ en $kg \cdot mo l^{- 1}$ ) ; l'ordre de grandeur $1 kg \cdot m^{- 3}$ est à connaître.

Q16. En reportant Q15 dans la loi de Gladstone :

$n = 1 + K \frac{M _{air}}{R} \frac{P}{T} = 1 + K^{'} \frac{P}{T} avec K^{'} = \frac{K M _{air}}{R}$

L'indice $n$ est sans dimension, donc $K^{'} P / T$ aussi : $K^{'}$ s'exprime en $K \cdot P a^{- 1}$ (kelvin par pascal). (On en déduit $K = K^{'} R / M_{air} \approx 2, 2 \times 1 0^{- 4} m^{3} \cdot k g^{- 1}$ .)

Q17. Système : une tranche d'air entre $z$ et $z + d z$ , au repos dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Hypothèses : $g$ uniforme, $T$ uniforme, air gaz parfait. La relation fondamentale de la statique des fluides, projetée sur l'axe $O z$ vertical ascendant, s'écrit $\frac{d P}{d z} = - ρ g$ . Avec Q15 :

$\frac{d P}{d z} = - \frac{M _{air} g}{R T} P ⟹ \frac{d P}{P} = - \frac{d z}{H} .$

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