Corrigé Banque PT 2025 Physique A PT — Partie I (Q1 à Q10) : Isolation thermique d'un toit : résistance thermique et onde thermique journalière

Sujet officiel du concours Banque PT, session 2025, épreuve Physique A PT. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Un toit plat horizontal est isolé par une couche plane d'aire $S$ , d'épaisseur $d$ , de conductivité thermique $λ$ , de masse volumique $ρ$ et de capacité thermique massique $c$ . L'axe $x$ est vertical descendant (de l'extérieur vers l'intérieur) ; $x = 0$ est l'interface toit/isolant, $x = d$ le plafond. La conduction est unidimensionnelle : $j = j (x, t) e_{x}$ , température $T (x, t)$ . La figure 1 montre à gauche la photo d'une maison à toit plat, à droite le schéma ci-dessous.

Figure 1 — Schéma de principe et notations (la photo n'est pas reproduite).

Données (deux isolants) :

	$λ$ ( $W \cdot m^{- 1} \cdot K^{- 1}$ )	$ρ$ ( $kg \cdot m^{- 3}$ )	$c$ ( $J \cdot K^{- 1} \cdot k g^{- 1}$ )
laine de verre	$0, 032$	$20$	$1030$
ouate de cellulose	$0, 040$	$35$	$2000$

Q1. Rappeler la loi de Fourier et justifier son signe « $-$ ».
Q2. Établir l'équation de la diffusion thermique unidimensionnelle.
Q3. En régime stationnaire, définir la résistance thermique $R_{th}$ de la couche et l'exprimer avec $S$ , $d$ , $λ$ .

Toit de surface $S = 100 m^{2}$ , de résistance thermique sans isolation $R_{th, toit} = 1, 0 \times 1 0^{- 2} K \cdot W^{- 1}$ .

Q4. Exprimer la résistance d'isolant qui divise par $10$ les pertes à travers le toit.
Q5. En déduire l'épaisseur $d$ ; applications numériques $d_{ℓ}$ (laine de verre) et $d_{o}$ (ouate).

En été, la surface de l'isolant subit $T (0, t) = T_{0} + T_{1} cos (ω t)$ (1), entre $13^{\circ} C$ et $37^{\circ} C$ sur un jour.

Q6. Calculer $T_{0}$ , $T_{1}$ en $^{\circ} C$ et $ω$ en $rad \cdot h^{- 1}$ .

On pose $T (x, t) = T_{0} + f (x) e^{i ω t}$ (2), avec $T = Re (T)$ .

Q7. Établir l'équation différentielle vérifiée par $f (x)$ .

Ses solutions sont $f (x) = A e^{(1 + i) x / δ} + B e^{- (1 + i) x / δ}$ (3), $δ$ réel.

Q8. Exprimer $δ$ en fonction de $λ$ , $ρ$ , $c$ , $ω$ ; sa dimension ?
Q9. On garde l'onde se propageant vers les $x$ croissants. Établir $T (x, t)$ , puis montrer que $T (d, t) = T_{0} + T_{1} e^{- d / δ} cos [ω (t - τ)]$ (4) et expliciter le déphasage thermique $τ$ . L'énoncé donne $τ_{ℓ} = 5, 3 h$ et $τ_{o} = 11 h$ pour les épaisseurs de Q5.
Q10. Le meilleur confort correspond à $T (0, t)$ et $T (d, t)$ en opposition de phase. Calculer le déphasage optimal ; quelle configuration est la plus confortable ?

Corrigé

Q1. La loi de Fourier, loi phénoménologique linéaire de la conduction, s'écrit

$j = - λ grad T soit ici j (x, t) = - λ \frac{\partial T}{\partial x},$

avec $λ > 0$ en $W \cdot m^{- 1} \cdot K^{- 1}$ . Le gradient est dirigé vers les températures croissantes ; or, d'après le second principe, le transfert thermique spontané va du chaud vers le froid. Le signe « $-$ » traduit ce sens : $j$ est dirigé vers les températures décroissantes, et le terme $- λ grad T$ fait bien passer l'énergie de la zone chaude à la zone froide.

Q2. Système : la tranche d'isolant comprise entre $x$ et $x + d x$ , de section $S$ , de volume $S d x$ ; c'est un solide indéformable, au repos, sans source interne. Premier principe entre $t$ et $t + d t$ : la variation d'énergie interne égale le transfert thermique reçu (aucun travail),

$ρ c S d x \frac{\partial T}{\partial t} d t = [j (x, t) - j (x + d x, t)] S d t ⟹ ρ c \frac{\partial T}{\partial t} = - \frac{\partial j}{\partial x} .$

(La face en $x$ reçoit $j (x) S d t$ ; la face en $x + d x$ cède $j (x + d x) S d t$ .) Avec la loi de Fourier, $λ$ étant uniforme :

$\frac{\partial T}{\partial t} = D_{th} \frac{\partial ^{2} T}{\partial x ^{2}}, D_{th} = \frac{λ}{ρ c} (diffusivit e ˊ thermique, en m^{2} \cdot s^{- 1}) .$

Q3. En régime stationnaire, Q2 donne $\frac{d j}{d x} = 0$ : $j$ est uniforme, donc le flux $Φ = j S$ est le même à travers toute section (conservation de l'énergie). La résistance thermique est définie par analogie avec la loi d'Ohm (température $\leftrightarrow$ potentiel, flux $\leftrightarrow$ intensité) :

$R_{th} = \frac{T ( 0 ) - T ( d )}{Φ} .$

La loi de Fourier donne $\frac{d T}{d x} = - \frac{j}{λ}$ , constante : le profil est affine et $T (0) - T (d) = \frac{j d}{λ} = \frac{Φ d}{λ S}$ . D'où

$R_{th} = \frac{d}{λ S} (K \cdot W^{- 1}) .$

Q4. Le toit et l'isolant sont traversés par le même flux : leurs résistances sont en série, $R_{tot} = R_{th, toit} + R_{iso}$ . À écart de température $Δ T$ intérieur/extérieur fixé, les pertes valent $Φ = Δ T / R_{tot}$ ; les diviser par $10$ impose $R_{tot} = 10 R_{th, toit}$ , soit

100 % gratuit

La suite du corrigé est sur Adloun

Le corrigé rédigé en entier, question par question, et le tuteur pour poser des questions sur ce sujet.

Voir le corrigé complet, gratuitement

Inscription gratuite en 30 secondes (e-mail, nom d'utilisateur, mot de passe, classe ou profil), sans carte bancaire : arrivée directe sur le corrigé.

Toutes les parties de l'épreuve

Corrigé complet gratuit →