Corrigé Banque PT 2025 Physique A PT — Partie II (Q11 à Q22) : Jonction PN, caractéristique d'un panneau photovoltaïque et association de cellules

Sujet officiel du concours Banque PT, session 2025, épreuve Physique A PT. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Rendements usuels des cellules : silicium amorphe $6$ à $9%$ , polycristallin $13$ à $18%$ , monocristallin $16$ à $24%$ .

Jonction PN : les électrons libres du silicium dopé N diffusent vers le silicium dopé P (porteur de « trous » positifs) ; il reste une zone chargée (zone de déplétion) dont le champ arrête la diffusion. Modèle : deux couches planes illimitées selon $O y$ et $O z$ , de densités volumiques uniformes $ρ_{1} > 0$ pour $- e_{1} < x < 0$ et $ρ_{2} < 0$ pour $0 < x < e_{2}$ ; permittivité $ε_{0}$ .

Figure 2 — Jonction PN : distribution de charge.

Q11. Condition sur $ρ_{1}$ , $e_{1}$ , $ρ_{2}$ , $e_{2}$ assurant la neutralité de la zone de déplétion.
Q12. Équation de Maxwell-Gauss ; en déduire le théorème de Gauss.
Q13. Direction de $E (M)$ et variable(s) dont il dépend, en justifiant.
Q14. Le champ est nul hors de la zone de déplétion et continu aux interfaces. Déterminer $E (M)$ dans la zone, en fonction de $ε_{0}$ , $ρ_{1}$ , $e_{1}$ , $e_{2}$ (sans $ρ_{2}$ ).
Q15. Tracer $E$ en fonction de $x$ avec les valeurs remarquables.
Q16. Pourquoi ce champ fait-il cesser la diffusion ?

Le panneau PWX850 compte $N = 9 \times 4$ cellules polycristallines carrées de côté $c = 125, 50 mm$ . Figure 3 : caractéristiques pour plusieurs irradiances et réseau d'iso-puissances espacées de $5 W$ (trait plein tous les $25 W$ ) ; la photo du panneau n'est pas reproduite.

Figure 3 — Caractéristique $I = f (U)$ du panneau PWX850, en convention générateur (source : Photowatt).

Q17. Expression d'une courbe iso-puissance ; commenter leur forme.
Q18. Le panneau alimente un conducteur ohmique $R$ . Justifier que la puissance reçue passe par un maximum pour $R = R^{⋆}$ ; donner cette puissance et $R^{⋆}$ sous $1 kW \cdot m^{- 2}$ .
Q19. Définir et calculer le rendement $η$ du panneau dans ces conditions ( $c \approx \frac{1}{8} m$ ) ; comparer aux données.

Chaque cellule est modélisée par une f.é.m. $E$ en série avec une résistance $r$ . Les $N = x \times y$ cellules forment $x$ branches en parallèle de $y$ cellules en série, qui alimentent $R$ ; $N$ , $E$ , $r$ , $R$ sont fixés.

Figure 4 — Modèle du panneau alimentant la résistance $R$ .

Q20. Exprimer $U$ en fonction de $E$ , $r$ , $R$ , $N$ et $x$ .
Q21. Exprimer $x$ et $y$ maximisant la puissance reçue par $R$ , en fonction de $N$ , $r$ , $R$ .
Q22. Dans ce cas, exprimer la puissance $P_{m a x}$ reçue par $R$ et la puissance $P_{J}$ dissipée dans les $N$ résistances $r$ ; commenter.

Corrigé

Q11. Par unité d'aire de la jonction (dans le plan $y O z$ ), la première couche porte la charge $ρ_{1} e_{1}$ et la seconde $ρ_{2} e_{2}$ . La zone de déplétion est neutre si

$ρ_{1} e_{1} + ρ_{2} e_{2} = 0 soit ρ_{2} = - ρ_{1} \frac{e _{1}}{e _{2}} .$

Les électrons partis de N sont exactement ceux qui sont piégés dans P.

Q12. L'équation de Maxwell-Gauss, locale, relie le champ en $M$ à la densité de charge en $M$ :

$div E = \frac{ρ}{ε _{0}} .$

On l'intègre sur un volume $V$ délimité par une surface fermée $Σ$ . Le théorème de Green-Ostrogradski transforme l'intégrale de volume de la divergence en flux sortant à travers $Σ$ :

$∭_{V} div E d τ = \oint \oint_{Σ} E \cdot d S = \frac{1}{ε _{0}} ∭_{V} ρ d τ ⟹ \oint \oint_{Σ} E \cdot d S = \frac{Q _{int}}{ε _{0}},$

où $d S$ est orienté vers l'extérieur de $Σ$ et $Q_{int}$ la charge intérieure à $Σ$ (théorème de Gauss).

Q13. Invariances. La distribution est invariante par toute translation selon $O y$ et selon $O z$ (couches illimitées, densités uniformes) : le champ ne dépend que de $x$ . Symétries. Pour tout point $M$ , le plan passant par $M$ et parallèle à $x O y$ , ainsi que le plan passant par $M$ et parallèle à $x O z$ , sont des plans de symétrie de la distribution ; le champ électrostatique, vecteur polaire, appartient à tout plan de symétrie passant par $M$ , donc à leur intersection, la droite parallèle à $O x$ :

$E (M) = E (x) e_{x} .$

Q14. Avec $E = E (x) e_{x}$ , Maxwell-Gauss se réduit à $\frac{d E}{d x} = \frac{ρ ( x )}{ε _{0}}$ .

Pour $- e_{1} < x < 0$ : $E$ est affine de pente $ρ_{1} / ε_{0}$ et s'annule en $x = - e_{1}$ (continuité avec le champ nul extérieur), d'où $E (x) = \frac{ρ _{1}}{ε _{0}} (x + e_{1})$ .
Pour $0 < x < e_{2}$ : $E (x) = E (0) + \frac{ρ _{2}}{ε _{0}} x$ avec, par continuité en $0$ , $E (0) = \frac{ρ _{1} e _{1}}{ε _{0}}$ . Avec Q11, $ρ_{2} = - ρ_{1} e_{1} / e_{2}$ .

$E = \frac{ρ _{1}}{ε _{0}} (x + e_{1}) e_{x} pour - e_{1} \leq x \leq 0,$

$E = \frac{ρ _{1} e _{1}}{ε _{0}} (1 - \frac{x}{e _{2}}) e_{x} pour 0 \leq x \leq e_{2} .$

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