Corrigé Banque PT 2025 Physique A PT — Partie III (Q23 à Q33) : Onduleur : commande symétrique et décalée, spectre, filtrage LR

Sujet officiel du concours Banque PT, session 2025, épreuve Physique A PT. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Données : fréquence du réseau $f = 50 Hz$ ; aides numériques $lo g 2 \approx 0, 30$ , $lo g 3 \approx 0, 48$ , $lo g 5 \approx 0, 70$ , $lo g 17 \approx 1, 23$ , $lo g 26 \approx 1, 41$ .

Un onduleur transforme la tension continue $E$ du panneau en tension alternative de période $T = 1/ f$ grâce à quatre interrupteurs commandés (figure 5). Commande symétrique : pour $n T < t < (n + \frac{1}{2}) T$ , $K_{1}$ et $K_{3}$ sont fermés, $K_{2}$ et $K_{4}$ ouverts ; pour $(n + \frac{1}{2}) T < t < (n + 1) T$ , c'est l'inverse.

Figure 5 — Circuit de l'onduleur.

Q23. Tracer $u (t)$ sur deux périodes.

Série de Fourier fournie (5) : $u (t) = \sum_{n \geq 1} b_{n} sin (2 π n f t)$ avec $b_{n} = \frac{2 E [ 1 - cos ( nπ )]}{nπ}$ .

Q24. Représenter le spectre en amplitude de $u (t)$ jusqu'à $5 f$ incluse.

Pour réduire la pollution harmonique, on adopte la commande décalée du tableau 1 ( $τ < T /2$ réglable).

	$] 0, τ [$	$] τ, \frac{T}{2} - τ [$	$] \frac{T}{2} - τ, \frac{T}{2} + τ [$	$] \frac{T}{2} + τ, T - τ [$	$] T - τ, T [$
$K_{1}$	ouvert	fermé	fermé	ouvert	ouvert
$K_{4}$	fermé	ouvert	ouvert	fermé	fermé
$K_{2}$	ouvert	ouvert	fermé	fermé	ouvert
$K_{3}$	fermé	fermé	ouvert	ouvert	fermé

Tableau 1 — Commande décalée : état des interrupteurs sur $] 0, T [$ .

Q25. Dessiner le circuit équivalent dans chaque configuration ; tracer $u (t)$ sur $] 0, T [$ .
Q26. Définir valeur moyenne $U_{0}$ et valeur efficace $U_{eff}$ ; les calculer en fonction de $E$ , $T$ , $τ$ .

Nouvelle série (6) : $b_{n} = \frac{2 E [ 1 - cos ( nπ )] cos ( 2 π n f τ )}{nπ}$ .

Q27. Représenter le fondamental de $u (t)$ (amplitude non exigée) sur le graphe de Q25.
Q28. Déterminer littéralement et numériquement la plus petite valeur de $τ$ éliminant la première harmonique non nulle.

On ajoute une bobine idéale $L$ et une résistance $R$ en série entre les points milieux ; $τ$ est celle de Q28 ; la sortie est $v (t)$ aux bornes de $R$ (figure 6).

Figure 6 — Onduleur et filtre $L R$ série.

Q29. Pourquoi prélever $v (t)$ aux bornes de $R$ plutôt que de $L$ ? (sans calcul)
Q30. Établir $H (j ω) = v / u$ et la fréquence de coupure $f_{c}$ .
Q31. À $R$ fixée, pourquoi le choix de $L$ est-il un compromis (L trop petite, trop grande) ?

Cahier des charges : fondamental atténué d'au plus $4 dB$ ; première harmonique non nulle atténuée de plus de $14 dB$ .

Q32. Avec $f_{c}$ égale à la fréquence du fondamental, vérifier le cahier des charges ; calculer $L$ pour $R = 100Ω$ .
Q33. Comment atténuer davantage les harmoniques résiduelles ?

Corrigé

Q23. Orientons : la flèche de $u$ pointe vers le point milieu de gauche (bras $K_{1}$ - $K_{4}$ ), donc $u = V_{G} - V_{D}$ , différence des potentiels des points milieux gauche et droit ; la borne $-$ du générateur est prise comme référence, la borne $+$ est au potentiel $E$ .

$K_{1}$ , $K_{3}$ fermés : $V_{G} = E$ (relié au $+$ par $K_{1}$ ), $V_{D} = 0$ (relié au $-$ par $K_{3}$ ), d'où $u = + E$ .
$K_{2}$ , $K_{4}$ fermés : $V_{G} = 0$ , $V_{D} = E$ , d'où $u = - E$ .

$u$ est un créneau symétrique d'amplitude $E$ :

Q24. $1 - cos (nπ)$ vaut $0$ pour $n$ pair et $2$ pour $n$ impair : seuls les harmoniques impairs existent, d'amplitude $b_{n} = \frac{4 E}{nπ}$ . Jusqu'à $5 f$ :

$b_{1} = \frac{4 E}{π} \approx 1, 27 E, b_{2} = 0, b_{3} = \frac{4 E}{3 π} \approx 0, 42 E, b_{4} = 0, b_{5} = \frac{4 E}{5 π} \approx 0, 25 E .$

Les raies décroissent en $1/ n$ : les harmoniques $3$ et $5$ sont loin d'être négligeables, la tension est très peu sinusoïdale.

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