Corrigé Banque PT 2025 Physique A PT — Partie IV (Q34 à Q44) : Régulation d'un bassin : comparateur à hystérésis, pompe et pertes de charge

Sujet officiel du concours Banque PT, session 2025, épreuve Physique A PT. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Données : $U_{sat} = 10 V$ ; $R = 100 kΩ$ ; capteur $u_{cn} = α h$ , $α = 5 V \cdot m^{- 1}$ ; $h_{m i n} = 0, 40 m$ , $h_{m a x} = 1, 00 m$ ; réservoir d'aire $S = 100 m^{2}$ ; $z_{e} = - 5 m$ , $z_{s} = 2 m$ ; tuyaux $L = 20 m$ , $d = 4 cm$ ; pompe $D_{v} = 2 L \cdot s^{- 1}$ , rendement $r = 0, 75$ ; eau $ρ = 1, 0 \times 1 0^{3} kg \cdot m^{- 3}$ , $η = 1, 0 \times 1 0^{- 3} Pa \cdot s$ ; $g = 9, 81 m \cdot s^{- 2}$ .

Une pompe solaire aspire l'eau d'un grand réservoir, de surface libre fixe en $z_{e}$ , et la refoule dans un bassin par un tuyau débouchant en $z_{s}$ ; fond du bassin en $z = 0$ , hauteur d'eau $h$ , air partout à $P_{atm}$ . Le montage de la figure 7 (ALI idéal) régule $h$ contre l'évaporation : la pompe marche si $u_{s} = + U_{sat}$ (relais fermé) et s'arrête si $u_{s} = - U_{sat}$ . On cherche $E > 0$ et $x \in [0, 1]$ maintenant $h$ entre $h_{m i n}$ et $h_{m a x}$ .

Figure 7 — Schéma de principe de la régulation.

Q34. Régime de fonctionnement de l'ALI, en justifiant.
Q35. Exprimer $V^{+}$ en fonction de $u_{s}$ , $E$ et $x$ .
Q36. Étudier et tracer $u_{s} = f (u_{cn})$ (valeurs remarquables) ; fonction réalisée ?
Q37. Expliquer comment ce montage réalise la régulation.
Q38. Système d'équations liant $E$ et $x$ .
Q39. Valeurs numériques de $E$ et $x$ .

Remplissage au débit $D_{v}$ , d'abord sans pertes de charge.

Q40. Exprimer la puissance électrique $P_{e}$ à fournir à la pompe (énoncé : $186 W$ ).

Pertes de charge de Darcy-Weisbach : $Δ P_{c} = ξ \frac{ρ v ^{2} L}{2 d}$ (7), $v$ vitesse débitante, $ξ$ lu sur le diagramme de Moody (figure 8) selon $R e$ et $ε / d$ .

Figure 8 — Diagramme de Moody (cartouche des matériaux omis).

Q41. Définir le nombre de Reynolds, sa signification ; le calculer.
Q42. Pour une rugosité relative $ε / d = 5 \times 1 0^{- 4}$ , estimer $ξ$ .
Q43. Avec pertes de charge, exprimer $P_{e}^{'}$ selon $P_{e}$ , $D_{v}$ , $Δ P_{c}$ , $r$ ; calcul pour $Δ P_{c} = 1, 4 \times 1 0^{4} Pa$ .
Q44. Nombre minimal de panneaux PWX850 (figure 3) sous $0, 6 kW \cdot m^{- 2}$ pour alimenter la pompe ?

Corrigé

Q34. La sortie de l'ALI est reliée, par $R x$ , à son entrée non inverseuse ; l'entrée inverseuse ne reçoit que $u_{cn}$ , sans lien avec la sortie. Cette rétroaction positive rend instable le régime linéaire : l'ALI fonctionne en régime saturé, $u_{s} = + U_{sat}$ si $ε = V^{+} - V^{-} > 0$ et $u_{s} = - U_{sat}$ si $ε < 0$ .

Q35. La flèche de $E$ pointe vers la borne du générateur reliée à $R (1 - x)$ ; l'autre borne est à la masse : cette borne est au potentiel $E$ . L'entrée $+$ de l'ALI idéal n'absorbe aucun courant ; la loi des nœuds en termes de potentiels (théorème de Millman) au nœud $V^{+}$ , relié à $S$ par $R x$ et au potentiel $E$ par $R (1 - x)$ , donne

$V^{+} = \frac{\frac{u _{s}}{R x} + \frac{E}{R ( 1 - x )}}{\frac{1}{R x} + \frac{1}{R ( 1 - x )}} ⟹ V^{+} = (1 - x) u_{s} + x E$

(en multipliant numérateur et dénominateur par $R x (1 - x)$ , le dénominateur vaut $1$ ). C'est un pont diviseur entre $u_{s}$ et $E$ .

Q36. $V^{-} = u_{cn}$ , donc $ε = (1 - x) u_{s} + x E - u_{cn}$ .

Si $u_{s} = + U_{sat}$ : cet état persiste tant que $ε > 0$ , soit $u_{cn} < u_{H} = x E + (1 - x) U_{sat}$ . Quand $u_{cn}$ croissant atteint $u_{H}$ , la sortie bascule à $- U_{sat}$ .
Si $u_{s} = - U_{sat}$ : l'état persiste tant que $u_{cn} > u_{B} = x E - (1 - x) U_{sat}$ ; quand $u_{cn}$ décroissant passe sous $u_{B}$ , la sortie bascule à $+ U_{sat}$ .

$u_{B} = x E - (1 - x) U_{sat}, u_{H} = x E + (1 - x) U_{sat} .$

Entre les deux seuils, la sortie dépend de l'état antérieur. C'est un comparateur à hystérésis inverseur (trigger de Schmitt inverseur), de largeur de cycle $2 (1 - x) U_{sat}$ , centré sur $x E$ (valeurs numériques de Q39 : $u_{B} = 2 V$ , $u_{H} = 5 V$ ).

Le cycle est parcouru dans le sens indiqué par les flèches : branche haute vers la droite jusqu'à $u_{H}$ , branche basse vers la gauche jusqu'à $u_{B}$ .

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