Corrigé Banque PT 2025 Physique A PT — Partie V (Q45 à Q49) : Horloge à eau : stabilité d'un tube pivotant qui se remplit

Une partie du débit de la pompe alimente une horloge à eau décorative. Un tube creux, articulé par une liaison pivot parfaite d'axe horizontal $(\Delta )$ passant par O, est initialement vide et vertical ; il se remplit très lentement au débit $D_{\mathrm{v}}$. À une hauteur d'eau critique $h_{\mathrm{c}}$, il devient instable, bascule, se vide dans le bassin, puis revient rapidement à la verticale et se remplit à nouveau. On cherche $h_{\mathrm{c}}$ et la période $T$.

Tube vertical : masse à vide $m$, section $S$, hauteur $H$ ; $b$ est la distance de $(\Delta )$ au fond du tube ; l'axe $Oz$ est vertical ascendant et le centre d'inertie G du tube vide est à l'altitude $z_{\mathrm{G}}=-a<0$. Le tube contient une masse d'eau $m_{\mathrm{e}}$ sur une hauteur $h$ ($\rho$ : masse volumique de l'eau). On admet $E_{\mathrm{p}}=mg{z}_{\mathrm{G}}+m_{\mathrm{e}}g{z}_{\mathrm{e}}$ (8), $z_{\mathrm{e}}$ étant l'altitude du centre d'inertie de l'eau.

Figure 9 — Horloge à eau : notations.

Q45. Exprimer $z_{\mathrm{e}}$ en fonction de $h$ et $b$.
Q46. Le tube est incliné d'un petit angle $\theta$. Montrer que $E_{\mathrm{p}}(\theta )=Xg\cos \theta$ (9), avec $X$ à exprimer en fonction de $a$, $b$, $h$, $S$, $m$, $\rho$.
Q47. Discuter la stabilité de l'équilibre $\theta =0$ selon le signe de $X$ ; en déduire que $h_{\mathrm{c}}^2-2b{h}_{\mathrm{c}}-\frac{2ma}{\rho S}=0$ (10).
Q48. Résoudre (10) ; exprimer la période $T$ en fonction de $S$, $h_{\mathrm{c}}$ et du débit $D_{\mathrm{v}}$ supposé constant.
Q49. Que risque-t-il de se passer si le tube est trop lourd ? Proposer une condition simple de bon fonctionnement.