Corrigé Banque PT 2025 Physique B – Thermodynamique PT — Partie II (Q15 à Q19) : Air humide : eau récupérable, psychromètre, taux d'humidité absolu et relatif

Sujet officiel du concours Banque PT, session 2025, épreuve Physique B – Thermodynamique PT. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Sujet officiel (PDF, site du concours)

Énoncé

On travaille à $2 7^{\circ} C$ sous $P = 1 bar$ , les gaz étant parfaits. Données : $P_{s a t} (2 7^{\circ} C) = 3, 568 kPa \approx 3 kPa$ ; $ℓ_{v} (2 7^{\circ} C) = 2454 kJ \cdot k g^{- 1}$ ; $M_{e a u} = 18 g \cdot mo l^{- 1}$ , $M_{ai r} = 29 g \cdot mo l^{- 1}$ ; masses volumiques à $2 7^{\circ} C$ : air $1, 3 kg \cdot m^{- 3}$ , eau liquide $1 0^{3} kg \cdot m^{- 3}$ ; $R = 8, 314 J \cdot mo l^{- 1} \cdot K^{- 1}$ .

Le psychromètre (figure 3) associe un thermomètre sec, qui mesure la température $T$ de l'air, et un thermomètre humide, dont le bulbe est entouré d'un tissu imbibé d'eau et ventilé : il indique la température humide $T_{h}$ .

Figure 3 — Psychromètre : thermomètre humide ventilé et thermomètre sec.

Dans un volume $V$ d'air humide à $T$ et $P$ , de masse de vapeur $M_{v e}$ et de masse d'air sec $M_{a s}$ , on définit le taux d'humidité absolu $X_{a} = M_{v e} / M_{a s}$ et le taux d'humidité relative $X_{r} = M_{v e} / M_{v e ma x}$ , où $M_{v e ma x}$ est la masse maximale de vapeur que peut contenir $V$ à $T$ . On note $δ = M_{e a u} / M_{ai r}$ .

Q15. Masse maximale d'eau « récupérable » dans $1 m^{3}$ d'air humide ? Volume minimal d'air à traiter pour obtenir $1 m^{3}$ d'eau ; commenter.
Q16. (Présentation du psychromètre, sans question.)
Q17. Expliquer qualitativement pourquoi l'évaporation de l'eau implique $T_{h} \leq T$ .
Q18. Exprimer $X_{a}$ en fonction de $P$ , $P_{v e}$ et $δ$ ; en déduire $X_{a s} = δ / (P / P_{s a t} - 1)$ pour l'air saturé et sa valeur à $2 7^{\circ} C$ .
Q19. Exprimer $X_{r}$ en fonction de $P_{v e}$ et $P_{s a t}$ , puis de $X_{a}$ , $P$ , $P_{s a t}$ et $δ$ ; application numérique pour $10 g$ de vapeur dans $1 m^{3}$ d'air.

Corrigé

Q15. La masse de vapeur est maximale quand l'air est saturé, $P_{v e} = P_{s a t} (2 7^{\circ} C)$ . La vapeur étant un gaz parfait occupant tout le volume $V$ , l'équation d'état donne

$m_{ma x} = \frac{P _{s a t} V M _{e a u}}{R T} = \frac{3 568 \times 1 \times 18 \times 1 0 ^{- 3}}{8 , 314 \times 300} \approx 2, 6 \times 1 0^{- 2} kg,$

soit environ $26 g$ d'eau par mètre cube d'air ( $20 g$ avec les valeurs approchées $3 kPa$ , $20 g \cdot mo l^{- 1}$ , $10 J \cdot mo l^{- 1} \cdot K^{- 1}$ ). Un mètre cube d'eau a une masse $μ_{e a u} \times 1 m^{3} = 1 0^{3} kg$ ; le volume minimal d'air saturé à traiter, en supposant toute sa vapeur récupérée, est

$V_{min} = \frac{1 0 ^{3}}{2 , 6 \times 1 0 ^{- 2}} \approx 4 \times 1 0^{4} m^{3}$

( $5 \times 1 0^{4} m^{3}$ avec les valeurs approchées), le volume d'un cube de $34 m$ d'arête, quarante mille fois le volume d'eau obtenu. Commentaire : c'est une borne optimiste. L'air réel n'est pas saturé, et on ne peut pas récupérer toute sa vapeur : refroidi vers $0^{\circ} C$ à l'évaporateur, il garde une pression partielle de vapeur $P_{s a t} (0^{\circ} C) = 0, 62 kPa$ , soit environ un sixième de sa vapeur (taux absolu saturant $0, 62 \times 0, 62/99 \approx 4 \times 1 0^{- 3}$ contre $2, 3 \times 1 0^{- 2}$ , Q18). Il faut donc brasser bien davantage d'air, avec des ventilateurs puissants. Le coût énergétique est lui aussi considérable : condenser $1 0^{3} kg$ de vapeur exige d'extraire au moins $1 0^{3} \times ℓ_{v} \approx 2, 5 \times 1 0^{9} J \approx 700 kWh$ , soit, avec le COP de $2, 5$ trouvé en Q9, près de $300 kWh$ électriques par mètre cube d'eau.

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