Corrigé Banque PT 2025 Physique B – Thermodynamique PT — Partie II (Q20 à Q26) : Modèle du psychromètre : bilans de matière et d'enthalpie en système ouvert

Q20. Pendant $\mathrm{d}t$, la quantité d'air humide qui franchit ${\mathrm{E}}_1$ transporte une masse d'air sec $D_{ma}\mathrm{d}t$ et une masse de vapeur $D_{mve}\mathrm{d}t$ ; leur rapport est, par définition, le taux d'humidité absolu de cet air :

$$\boxed{D_{mve}=X_a{D}_{ma}}.$$

Bilan de matière sur l'eau, pour le volume de contrôle formé par le récipient (eau liquide et air qui le traverse) : en régime permanent, la masse d'eau qu'il contient est constante (le niveau est maintenu), donc le débit d'eau entrant égale le débit d'eau sortant. Il entre de la vapeur en ${\mathrm{E}}_1$ ($X_a{D}_{ma}$) et du liquide en ${\mathrm{E}}_2$ ($D_{me}$) ; il sort de la vapeur en S ($X_{as}{D}_{ma}$) :

$$X_a{D}_{ma}+D_{me}=X_{as}{D}_{ma}⟹\boxed{D_{me}=(X_{as}-X_a)D_{ma}}.$$

L'eau d'appoint compense exactement l'eau évaporée dans l'air ; comme $D_{me}>0$, $X_a<X_{as}$.

Q21. Pour un système ouvert en régime stationnaire, d'entrées $e$ et de sorties $s$ de débits massiques $D_{m,k}$, la masse se conserve, ${\sum }_e{D}_{m,e}={\sum }_s{D}_{m,s}$, et le premier principe industriel s'écrit

$$\boxed{\sum _s{D}_{m,s}\left(h_s+\frac{1}{2}{c}_s^2+g{z}_s\right)-\sum _e{D}_{m,e}\left(h_e+\frac{1}{2}{c}_e^2+g{z}_e\right)={\mathcal{P}}_u+{\mathcal{P}}_{th}}$$

où $h$ est l'enthalpie massique, $c$ la vitesse d'écoulement, $z$ l'altitude de chaque section, ${\mathcal{P}}_u$ la puissance mécanique utile (indiquée) reçue des parties mobiles et ${\mathcal{P}}_{th}$ la puissance thermique reçue à travers les parois (en watts). On l'établit en suivant un système fermé formé du contenu du volume de contrôle et des masses qui entrent ou sortent pendant $\mathrm{d}t$ ; le travail des forces de pression à l'entrée et à la sortie transforme l'énergie interne $u$ en enthalpie $h=u+Pv$.

Ce que le correcteur attend : une écriture en puissance (débits en facteur), le signe « sorties moins entrées » à gauche, les termes reçus à droite, et $\frac{1}{2}{c}^2$ (et non $c^2$).

Q22. L'air sec est un gaz parfait de capacité thermique massique constante : $\mathrm{d}{h}_a=c_a\mathrm{d}T$. En intégrant depuis la référence ($h_a=0$ à $0^{\circ }\mathrm{C}$) :

$$\boxed{h_a(T)=c_{a}T}(T{\text{en}}^{\circ }\mathrm{C}).$$

L'eau liquide est une phase condensée (enthalpie quasi indépendante de la pression) de capacité thermique $c_{\ell }$ : de même, $\boxed{h_{el}(T)=c_{\ell }T}$. Ces relations sont valables car seules des différences de température interviennent : $T-0^{\circ }\mathrm{C}$ s'exprime indifféremment en degrés Celsius ou en kelvins.

Q23. L'enthalpie est une fonction d'état : pour passer de la référence (eau liquide à $0^{\circ }\mathrm{C}$) à la vapeur à $T$, on peut choisir n'importe quel chemin. On retient un chemin de trois étapes dont chaque variation est connue :