Corrigé Banque PT 2025 Sciences industrielles B PT — Partie I.A (Q1 à Q7) : Contact brame-rouleau : statique, effet de bord, rouleau absent et coefficient de sécurité

Sur une ligne de laminage à chaud, une brame d'acier (parallélépipède de longueur $L_b$, largeur $l_b$, épaisseur $e_b$, masse $m_b$, masse volumique ${\rho }_a=7800\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^{-3}$) repose sur une table à rouleaux (TAR) : rouleaux identiques de diamètre $D_r$ et de longueur $L_r$, d'axes parallèles dans un même plan horizontal, d'entraxe $L_{inter}$ ; $N_r$ rouleaux portent une même brame. La « brame élémentaire » est le tronçon de brame porté par un seul rouleau (longueur $L_{inter}$, masse $m_{b_{\text{eˊleˊm}}}$, poids ${\overrightarrow{P}}_{b_{\text{eˊleˊm}}}$, centre de gravité $G_{\text{eˊlem}}$), en contact avec le rouleau au point $M$. On note ${\overrightarrow{F}}_{Mb/r}$ l'action en $M$ de la brame sur le rouleau, ${\overrightarrow{F}}_{Mr/b}$ celle du rouleau sur la brame ; $g=10\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-2}$. Brame et rouleaux sont immobiles, moteurs non alimentés.

Figure 9 — Brame élémentaire portée par le rouleau d'axe sous $M$.

Q1. Exprimer $m_{b_{\text{eˊleˊm}}}$ et l'intensité de ${\overrightarrow{P}}_{b_{\text{eˊleˊm}}}$.
Q2. Placer $G_{\text{eˊlem}}$ et représenter ${\overrightarrow{P}}_{b_{\text{eˊleˊm}}}$, ${\overrightarrow{F}}_{Mb/r}$ et ${\overrightarrow{F}}_{Mr/b}$.
Q3. Relation entre ${\overrightarrow{P}}_{b_{\text{eˊleˊm}}}$ et ${\overrightarrow{F}}_{Mr/b}$ (système isolé, théorème, hypothèse).
Q4. Relation entre ${\overrightarrow{F}}_{Mb/r}$ et ${\overrightarrow{F}}_{Mr/b}$ (principe utilisé).

Effet de bord (annexe C). La brame vient de quitter le rouleau précédent : son extrémité est modélisée par un tronçon articulé sans frottement sur le reste de la brame, à mi-distance entre deux rouleaux.

Figure C — Modélisation retenue pour l'extrémité de la brame (Q5 à Q7).

Q5. Isoler le tronçon d'extrémité : placer $G_{ext}$, représenter les efforts, exprimer $P_{b_{e}xtrem}$ puis $F_{M_{E}XTREMb/r}$ en fonction de $P_{b_{\text{eˊleˊm}}}$.
Q6. Un rouleau est démonté ; seuls ses deux voisins (contacts $M$ et $M^{\prime }$) le suppléent. Exprimer $F_{M_{R}OU{L}_{A}BSTb/r}$ en fonction de $P_{b_{\text{eˊleˊm}}}$.
Q7. Le coefficient $K_{ba}$, défini par $F_{MAXb/r}=K_{ba}{F}_{Mb/r}$, agrège l'effet de bord et le rouleau absent ; le schéma du document réponse montre l'extrémité de brame dont le rouleau voisin de $M$ est démonté. Proposer une valeur de $K_{ba}$.