Corrigé Banque PT 2025 Sciences industrielles B PT — Partie I.B (Q8 à Q13) : Adhérence de Coulomb et accélération maximale de la brame sans glissement

On cherche l'accélération maximale d'une brame compatible avec le non-glissement entre les rouleaux et la brame. Brame et rouleaux sont en mouvement uniformément accéléré ; la brame se déplace de la droite vers la gauche, dans le sens positif de l'axe $\overrightarrow{x}$ (horizontal), $\overrightarrow{y}$ étant vertical ascendant. On étudie une brame élémentaire située vers le centre de la brame (pas d'effet de bord) ; l'action ${\overrightarrow{F}}_{Mr/b}$ du rouleau sur la brame est constante et le contact suit le modèle de Coulomb, de coefficient d'adhérence $f=0,17$ et d'angle d'adhérence $\phi$. On note $\overrightarrow{a}$ l'accélération de la brame et $a$ son intensité ; $g=10\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-2}$. Notations de la partie I.A ($m_{b_{\text{eˊleˊm}}}$, ${\overrightarrow{P}}_{b_{\text{eˊleˊm}}}$, $M$).

Figure du document réponse (Q9) — Brame élémentaire en mouvement vers la gauche.

Q8. Énoncer la relation entre $\phi$ et $f$.
Q9. Brame élémentaire à la limite du glissement : représenter le cône d'adhérence, $\phi$, ${\overrightarrow{P}}_{b_{\text{eˊleˊm}}}$, ${\overrightarrow{F}}_{Mr/b}$ et $\overrightarrow{a}$.
Q10. Quel(s) théorème(s) utiliser, projeté(s) sur quel(s) axe(s) ?
Q11. Exprimer $F_{Mr/b}$ en fonction de $m_{b_{\text{eˊleˊm}}}$, $\phi$ et $g$, puis en fonction de $m_{b_{\text{eˊleˊm}}}$, $\phi$ et $a$.
Q12. En déduire $a$ en fonction de $g$ et des paramètres du problème.
Q13. Les brames mesurent de $6$ à $10\mathrm{m}$ de long, de $0,9$ à $1,9\mathrm{m}$ de large, et toutes $0,24\mathrm{m}$ d'épaisseur. Dans quel cas le risque de glissement est-il le plus grand (brame la plus légère, la plus lourde, indépendant de la masse) ? Calculer $a_{adm}$.