Corrigé Banque PT 2025 Sciences industrielles B PT — Partie II.A et II.B (Q25 à Q30) : Poids du rouleau, actions des roulements et modélisation des charges sur le rouleau

Sujet officiel du concours Banque PT, session 2025, épreuve Sciences industrielles B PT. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Sujet officiel (PDF, site du concours)

Énoncé

Chaque nouveau rouleau est guidé par deux roulements à rotule sur rouleaux : en $B_{a v}$ , liaison rotule ; en $B_{a r}$ , liaison linéaire annulaire d'axe $x_{1}$ . Le couple moteur $C_{M}$ est transmis en $A$ par un accouplement élastique (couple pur). Repère direct $(x_{1}, y_{1}, z_{1})$ , $x_{1}$ selon l'axe du rouleau, $y_{1}$ vertical ascendant ; la brame avance selon $z_{1}$ . Hypothèses : poids de la brame élémentaire uniformément réparti de $E_{a r}$ à $E_{a v}$ (projetés $D_{a r}$ , $D_{a v}$ ) ; seul compte le poids $P_{R}$ de la partie centrale ( $C_{a r}$ à $C_{a v}$ ) ; $O$ milieu commun ; rouleau plein, indéformable, liaisons parfaites. Données : $P_{b e ˊ l ma x} = 47, 5 kN$ , $T_{b e ˊ l ma x} = 9, 5 kN$ (effort tangentiel d'accélération), $D_{r} = 356 mm$ , $L_{r} = 2000 mm$ (de $C_{a r}$ à $C_{a v}$ ), acier de masse volumique $ρ_{a}$ , $g = 10 m \cdot s^{- 2}$ .

Figure 10 — Rouleau, brame élémentaire et modèle (cotes en mm) ; $B_{a r}$ linéaire annulaire, $B_{a v}$ rotule.

Q25. Relation littérale donnant $P_{R}$ , avec l'unité de chaque paramètre (on prendra ensuite $P_{R} = 16 kN$ ).
Q26. Pour calculer les actions des roulements en $B_{a v}$ et $B_{a r}$ : théorème(s), système isolé, hypothèse(s) supplémentaire(s).
Q27. Valeurs des composantes de $R_{B_{a v}}$ , $M_{B_{a v}}$ (en $B_{a v}$ ), $R_{B_{a r}}$ , $M_{B_{a r}}$ (en $B_{a r}$ ).

Étude dynamique (accélération maximale de la brame). Actions sur le rouleau : couple moteur $C_{m o t}$ ; actions des roulements $F_{B_{a v}}$ , $F_{B_{a r}}$ (composantes $B_{a v x}$ , $B_{a v y}$ , …) ; composante radiale $P_{B e ˊ l ma x}$ et composante tangentielle $T_{B e ˊ l ma x}$ de l'action de la brame (charges réparties $q_{P_{b e ˊ l ma x}}$ , $q_{T_{b e ˊ l ma x}}$ ) ; poids $P_{R}$ (charge $q_{P_{R}}$ ). Conventions (figure 11) : flèche simple (force), peigne (charge répartie), double flèche ou arc (couple).

Q28. Compléter le tableau des actions (type, sens, point ou segment, valeur, unité). Cases déjà remplies : $C_{m o t}$ couple ponctuel selon $x_{1}$ en $A$ , $C_{m o t} = 800 N \cdot m$ ; $B_{a v}$ force ponctuelle en $B_{a v}$ , $B_{a v x_{1}} = 0$ ; $P_{b e ˊ l ma x}$ charge uniformément répartie selon $- y_{1}$ de $E_{a v}$ à $E_{a r}$ .
Q29. Représenter ces actions sur les trois vues du rouleau (vue de face, vue de dessus, vue de côté).
Q30. Expression littérale du couple moteur maximal $C_{M ma x}$ en $A$ , avec unités.

Corrigé

Q25. La partie centrale du rouleau est un cylindre plein de diamètre $D_{r}$ et de longueur $L_{r}$ :

$P_{R} = ρ_{a} g \frac{π D _{r}^{2}}{4} L_{r} P_{R} en N, ρ_{a} en kg \cdot m^{- 3}, g en m \cdot s^{- 2}, D_{r} et L_{r} en m .$

Contrôle (non demandé) : $P_{R} = 7800 \times 10 \times \frac{π \times 0 , 35 6 ^{2}}{4} \times 2 \approx 1, 55 \times 1 0^{4} N$ , d'où la valeur arrondie $P_{R} = 16 kN$ retenue par le sujet. Le jury note que $30 %$ des candidats échouent sur ce volume de cylindre.

Q26. Système isolé : le rouleau (avec ses arbres), seul. Bilan : poids de la brame élémentaire (réparti de $D_{a r}$ à $D_{a v}$ ), poids $P_{R}$ (réparti de $C_{a r}$ à $C_{a v}$ ), action de la rotule en $B_{a v}$ (résultante seule, moment nul en $B_{a v}$ ), action de la linéaire annulaire en $B_{a r}$ (résultante perpendiculaire à $x_{1}$ , moment nul en $B_{a r}$ ), couple pur de l'accouplement en $A$ . Théorème : principe fondamental de la statique, c'est-à-dire théorème de la résultante statique et théorème du moment statique (en $B_{a r}$ par exemple, pour éliminer ses inconnues). Hypothèses supplémentaires : problème plan dans $(x_{1}, y_{1})$ (toutes les charges prises en compte sont verticales et dans ce plan) ; on néglige dans cette étude statique l'effort tangentiel de la brame et donc le couple moteur (brame immobile, ou à vitesse constante avec résistance négligeable) ; aucune charge axiale. Il reste trois inconnues ( $B_{a v x}$ , $B_{a v y}$ , $B_{a r y}$ ) pour trois équations : problème isostatique.

Q27. Abscisses depuis $B_{a r}$ : $C_{a r}$ à $0, 2 m$ , $D_{a r}$ à $0, 25$ , $O$ à $1, 2$ , $D_{a v}$ à $2, 15$ , $C_{a v}$ à $2, 2$ , $B_{a v}$ à $2, 4 m$ . Les deux charges réparties ont pour résultantes $- P_{b e ˊ l ma x} y_{1}$ et $- P_{R} y_{1}$ , appliquées en $O$ , milieu de $[B_{a r} B_{a v}]$ .

résultante selon $x_{1}$ : $B_{a v x} = 0$ ;
moment en $B_{a r}$ selon $z_{1}$ : $2, 4 B_{a v y} - 1, 2 (P_{b e ˊ l ma x} + P_{R}) = 0$ , d'où $B_{a v y} = \frac{47 500 + 16 000}{2} = 31750 N$ ;
résultante selon $y_{1}$ : $B_{a r y} = P_{b e ˊ l ma x} + P_{R} - B_{a v y} = 31750 N$ .

$R_{B_{a v}} = 0317500 N, M_{B_{a v}} = 0 en B_{a v} R_{B_{a r}} = 0317500 N, M_{B_{a r}} = 0 en B_{a r}$

(composantes dans $(x_{1}, y_{1}, z_{1})$ ). La symétrie du chargement par rapport à $O$ donnait directement le partage par moitié. Les moments sont nuls parce qu'une rotule et une linéaire annulaire ne transmettent aucun moment en leur centre.

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