Corrigé Banque PT 2025 Sciences industrielles B PT — Partie II.B (suite) (Q31 à Q34) : Torseur de cohésion du rouleau, diagrammes et coefficient de sécurité du rouleau plein

Sujet officiel du concours Banque PT, session 2025, épreuve Sciences industrielles B PT. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Sujet officiel (PDF, site du concours)

Énoncé

Le rouleau (notations, actions et valeurs de Q25 à Q30) est assimilé à une poutre d'axe $(B_{a r}, x_{1})$ , étudiée par tronçons : $(B_{a r}, C_{a r})$ , $(C_{a r}, D_{a r})$ , $(D_{a r}, D_{a v})$ , $(D_{a v}, C_{a v})$ , $(C_{a v}, B_{a v})$ , $(B_{a v}, A)$ . Le torseur de cohésion ${τ_{co h 2/1}}$ est l'action du tronçon 2 de droite (côté avant, $+ x_{1}$ ) sur le tronçon 1 de gauche, exprimé au point $x_{G}$ de la coupure ; $x = B_{a r} x_{G}$ ; la longueur entre deux points se note par exemple $B_{a r} C_{a r}$ . Composantes : $N$ , $T_{y}$ , $T_{z}$ , $M_{t}$ , $M_{f y}$ , $M_{f z}$ .

Figure 12 — Paramétrage de la poutre (cotes de la figure 10 : $B_{a r} C_{a r} = 200$ , $C_{a r} D_{a r} = 50$ , $D_{a r} D_{a v} = 1900$ , $C_{a v} B_{a v} = 200$ , $B_{a v} A = 120$ , en mm).

Codification des portions de courbe : $0$ (droite horizontale nulle), $H$ (horizontale non nulle), $I$ (droite inclinée), $P$ (parabole).

Q31. Pour $x_{G} \in [D_{a r}, D_{a v}]$ , exprimer les composantes de ${τ_{co h 2/1}}$ en fonction de $C_{m o t e u r}$ , des composantes des actions des roulements, de $q_{P_{b e ˊ l ma x}}$ , $q_{T_{b e ˊ l ma x}}$ , $q_{P_{R}}$ , $x$ et des dimensions.
Q32. Tracer l'allure des six composantes le long du rouleau, localiser les valeurs extrêmes, coder chaque portion.
Q33. Pour chaque tronçon, cocher les sollicitations (traction-compression, cisaillement, flexion, torsion) et la nature des contraintes (normales longitudinales, tangentielles transversales).

Une simulation numérique (figure 13, carte de couleurs non reproduite) donne la contrainte équivalente de Von Mises dans le rouleau plein : maximum $87, 5 MPa$ sur l'arbre côté moteur, entre $0, 8$ et $3, 6 MPa$ sur la partie centrale (relevés $1, 6$ ; $1, 7$ ; $1, 9$ ; $1, 9$ ; $0, 8$ ; $3, 6 MPa$ ). Acier C35 trempé-revenu : $R_{e} = 360 MPa$ , $R_{m} = 520 MPa$ , $A % = 18$ .

Q34. Coefficient de sécurité $S_{R P}$ du rouleau plein ? Que dire des contraintes dans la partie centrale (de $C_{a r}$ à $C_{a v}$ ) ?

Corrigé

Données utiles (Q27, Q28) : $B_{a r y} = B_{a v y} = 31, 75 kN$ , $B_{a r z} = B_{a v z} = 4, 75 kN$ , $B_{a v x} = 0$ ; $q_{P_{b e ˊ l ma x}} = 25 kN \cdot m^{- 1}$ , $q_{T_{b e ˊ l ma x}} = 5 kN \cdot m^{- 1}$ , $q_{P_{R}} = 8 kN \cdot m^{- 1}$ ; abscisses $C_{a r}$ : $0, 2 m$ , $D_{a r}$ : $0, 25$ , $O$ : $1, 2$ , $D_{a v}$ : $2, 15$ , $C_{a v}$ : $2, 2$ , $B_{a v}$ : $2, 4$ , $A$ : $2, 52 m$ . Le couple moteur, selon $+ x_{1}$ , équilibre le couple réparti $- q_{T_{b e ˊ l ma x}} \frac{D _{r}}{2} x_{1}$ de la brame : $C_{m o t e u r} = q_{T_{b e ˊ l ma x}} \frac{D _{r}}{2} D_{a r} D_{a v} = T_{b e ˊ l ma x} \frac{D _{r}}{2} \approx 1, 69 kN \cdot m$ (Q30).

Q31. Notations. La question écrit « $z$ » pour l'abscisse de la coupure et « $B_{a v x o u y}$ » : on garde l'abscisse $x = B_{a r} x_{G}$ définie par la figure 12 et les composantes $B_{a r y}$ , $B_{a r z}$ de Q27--Q28 (une linéaire annulaire d'axe $x_{1}$ n'a pas de composante selon $x_{1}$ ).

Méthode. D'après le cours, ${τ_{co h 2/1}} = - {ext \to 1}$ : on isole le tronçon 1, de $B_{a r}$ à $x_{G}$ , qui ne porte que des actions connues. Pour $x_{G} \in [D_{a r}, D_{a v}]$ , il reçoit :

en $B_{a r}$ : $B_{a r y} y_{1} + B_{a r z} z_{1}$ (moment nul) ;
le poids du rouleau sur $[C_{a r}, x_{G}]$ : résultante $- q_{P_{R}} (x - B_{a r} C_{a r}) y_{1}$ , au milieu de ce segment ;
la charge normale de la brame sur $[D_{a r}, x_{G}]$ : $- q_{P_{b e ˊ l ma x}} (x - B_{a r} D_{a r}) y_{1}$ , au milieu ;
la charge tangentielle sur $[D_{a r}, x_{G}]$ : $- q_{T_{b e ˊ l ma x}} (x - B_{a r} D_{a r}) z_{1}$ , au milieu, plus le couple réparti $- q_{T_{b e ˊ l ma x}} \frac{D _{r}}{2} (x - B_{a r} D_{a r}) x_{1}$ .

En réduisant ces actions en $x_{G}$ (bras de levier $- x$ , $- \frac{x - B _{a r} C _{a r}}{2}$ et $- \frac{x - B _{a r} D _{a r}}{2}$ selon $x_{1}$ ) et en changeant le signe :

$N T_{y} T_{z} M_{t} M_{f y} M_{f z} = 0 = - B_{a r y} + q_{P_{R}} (x - B_{a r} C_{a r}) + q_{P_{b e ˊ l ma x}} (x - B_{a r} D_{a r}) = - B_{a r z} + q_{T_{b e ˊ l ma x}} (x - B_{a r} D_{a r}) = q_{T_{b e ˊ l ma x}} \frac{D _{r}}{2} (x - B_{a r} D_{a r}) = C_{m o t e u r} \frac{x - B _{a r} D _{a r}}{D _{a r} D _{a v}} = - B_{a r z} x + \frac{q _{T_{b e ˊ l ma x}}}{2} (x - B_{a r} D_{a r})^{2} = B_{a r y} x - \frac{q _{P_{R}}}{2} (x - B_{a r} C_{a r})^{2} - \frac{q _{P_{b e ˊ l ma x}}}{2} (x - B_{a r} D_{a r})^{2}$

Contrôles : $\frac{d M _{f z}}{d x} = - T_{y}$ et $\frac{d M _{f y}}{d x} = T_{z}$ , relations attendues avec cette convention ; en $x = B_{a r} D_{a v}$ , $M_{t} = C_{m o t e u r}$ , ce que donne aussi l'isolement du tronçon 2 (le couple moteur moins le couple de la brame restant à sa droite). Au milieu $O$ ( $x = 1, 2 m$ ) : $T_{y} = 0$ , $T_{z} = 0$ , $M_{f z} = 31, 75 \times 1, 2 - 4 \times 1^{2} - 12, 5 \times 0, 9 5^{2} \approx 22, 8 kN \cdot m$ , $M_{f y} = - 4, 75 \times 1, 2 + 2, 5 \times 0, 9 5^{2} \approx - 3, 44 kN \cdot m$ .

Q32. On applique la même méthode sur chaque tronçon (sur $(C_{a v}, A)$ , il est plus simple d'isoler le tronçon 2). Allure des six diagrammes, en $kN$ et $kN \cdot m$ ( $M_{t}$ tracé avec $C_{m o t e u r} \approx 1, 69 kN \cdot m$ ) :

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