Corrigé Banque PT 2025 Sciences industrielles B PT — Partie II.C (Q35 à Q40) : Rouleau creux : tenue mécanique et gain sur l'énergie cinétique de transfert

Sujet officiel du concours Banque PT, session 2025, épreuve Sciences industrielles B PT. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Sujet officiel (PDF, site du concours)

Énoncé

Pour réduire l'énergie de mise en rotation des rouleaux, souvent accélérés, on étudie un rouleau creux mécanosoudé en 5 pièces (deux arbres, deux flasques de $20 mm$ , un tube de $10 mm$ d'épaisseur, diamètres $356$ et $336 mm$ ), dans le même acier C35 trempé-revenu ( $R_{e} = 360 MPa$ ).

Figure 14 — Rouleau creux envisagé (tube de $10 mm$ , flasques de $20 mm$ , cotes en mm).

La simulation (figure 15, non reproduite) donne une contrainte de Von Mises maximale de $82, 5 MPa$ sur l'arbre côté moteur et, sur la partie centrale, $3$ ; $12$ ; $18$ ; $4, 3$ ; $4, 4$ ; $5, 4 MPa$ .

Rouleau	masse $M_{R}$	moment d'inertie $J_{R}$ (axe du rouleau)
plein (P)	$M_{R P} = 1602 kg$	$J_{R P} = 25 kg \cdot m^{2}$
creux (C)	$M_{R C} = 236 kg$	$J_{R C} = 5, 5 kg \cdot m^{2}$

Nouveau cycle : $N_{b 1} = 33$ rouleaux amont atteignent la vitesse tangentielle $v_{R 1} = 1, 5 m \cdot s^{- 1}$ et $N_{b 2} = 55$ rouleaux aval $v_{R 2} = 6 m \cdot s^{- 1}$ ; $D_{r} = 356 mm$ . Brame la plus grande : $L_{b} = 10 m$ , $l_{b} = 1, 9 m$ , $e_{b} = 0, 24 m$ , $ρ_{a} = 7800 kg \cdot m^{- 3}$ . Liaisons parfaites, translation de la brame sans perte ; rouleaux arrêtés après chaque brame (une toutes les $7 min$ ).

Q35. Coefficient de sécurité du rouleau creux ? Contraintes dans la partie centrale ?
Q36. Exprimer l'énergie cinétique $E_{R}$ d'un rouleau quelconque, puis $E_{R 1}$ (amont) et $E_{R 2}$ (aval).
Q37. Exprimer l'énergie $E_{GR}$ de l'ensemble des rouleaux ; calculer $E_{GR P}$ (pleins) et $E_{GR C}$ (creux).
Q38. Exprimer et calculer l'énergie cinétique $E_{B}$ d'une brame de dimensions maximales à $v_{R 2}$ .
Q39. Exprimer les énergies $E_{T R P}$ et $E_{T R C}$ nécessaires au transfert d'une brame, avec rouleaux pleins puis creux.
Q40. Exprimer le gain $G_{%}$ du rouleau creux en fonction de $E_{B}$ , $E_{GR P}$ , $E_{GR C}$ ; le calculer et conclure.

Corrigé

Q35. Comme en Q34 :

$S_{R C} = \frac{R _{e}}{σ _{V M, ma x}} = \frac{360}{82 , 5} \approx 4, 4$

La contrainte maximale reste sur l'arbre côté moteur et diminue un peu (le rouleau, près de sept fois plus léger, charge moins les paliers, donc l'arbre fléchit moins) : le coefficient de sécurité est même légèrement meilleur que celui du rouleau plein. Dans la partie centrale, les contraintes passent de quelques mégapascals à $3$ à $18 MPa$ : elles sont multipliées par $5$ environ (la section résistante du tube est bien plus faible), mais restent vingt fois inférieures à $R_{e}$ . La matière est mieux employée et la solution creuse est validée en résistance.

Q36. Le rouleau tourne autour de son axe fixe par rapport au bâti (liaison pivot), qui passe par son centre d'inertie. Son énergie cinétique dans le référentiel du bâti est donc $E_{R} = \frac{1}{2} J_{R} ω_{R}^{2}$ . Le roulement sans glissement de la brame donne la vitesse tangentielle $v_{R} = ω_{R} \frac{D _{r}}{2}$ , soit $ω_{R} = \frac{2 v _{R}}{D _{r}}$ :

$E_{R} = \frac{2 J _{R} v _{R}^{2}}{D _{r}^{2}} E_{R 1} = \frac{2 J _{R} v _{R 1}^{2}}{D _{r}^{2}} E_{R 2} = \frac{2 J _{R} v _{R 2}^{2}}{D _{r}^{2}}$

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