Corrigé Banque PT 2025 Sciences industrielles B PT — Partie III (Q41 à Q46) : Durée de vie des roulements, couple et choix du moteur, choix de l'accouplement

Sujet officiel du concours Banque PT, session 2025, épreuve Sciences industrielles B PT. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Sujet officiel (PDF, site du concours)

Énoncé

Roulements. Roulements à rotule sur rouleaux 22228 CC/W33 : $C = 743 kN$ , $C_{0} = 900 kN$ , alésage $d_{in t} = 100 mm$ (minimum imposé). Avec rouleaux creux, charge radiale $F_{R} = 26 kN$ et axiale $F_{A} = 0$ par roulement. Facteur correctif SKF $f_{L} = P_{corrig e ˊ e} / P = 3$ (train de laminoir). $L_{b} = 10 m$ , $D_{R} = 356 mm$ , $v_{R 2} = 6 m \cdot s^{- 1}$ , une brame toutes les $Δ T = 7 min$ . On étudie le rouleau le plus rapide, chargé seulement au contact d'une brame. Durée conseillée pour un laminoir : de 2 mois à 3 ans. L'annexe D tabule $x^{3}$ et $x^{10/3}$ (par exemple $9^{10/3} \approx 1516$ , $1 0^{10/3} \approx 2154$ ).

Q41. Exprimer et calculer $N_{R}$ ( $mi n^{- 1}$ ), le nombre de tours $N_{b t / B}$ par brame et $N_{b t / j}$ par jour.
Q42. Exprimer et calculer $L_{10 C}$ (millions de tours) en fonction de $C$ , $F_{R}$ , $f_{L}$ ; le nombre de jours $N_{b J R}$ ; la durée de vie $D_{V R}$ ; conclure.

Moteur. Moteurs ABB sans réducteur, dimensionnés par l'accélération. Étude dans le plan $(O, y_{1}, z_{1})$ , pivot rouleau-table parfaite, roulement sans glissement en $E$ : $T_{b e ˊ l ma x} = 9, 5 kN$ , $a_{B ma x} = 1, 5 m \cdot s^{- 2}$ , $D_{r} = 356 mm$ , $N_{R ma x} = 320 mi n^{- 1}$ , $J_{R C} = 5, 5 kg \cdot m^{2}$ (axe du rouleau), couple moteur pur.

Figure 16 — Croquis pour l'isolement du rouleau (axe de rotation $x_{1}$ , normal à la figure).

Q43. Écrire le théorème du moment dynamique en $G$ projeté sur l'axe de rotation ; exprimer et calculer $C_{M ma x}$ .
Q44. Avec une marge $s_{M} = 1, 2$ , calculer $C_{M ma x r e ˊ el}$ et choisir le moteur (extrait de l'annexe E, moteurs 8 pôles, $400 V$ , $23 Hz$ ) :

Référence	$P$ (kW)	$N$ ( $mi n^{- 1}$ )	$T_{n}$ ( $N \cdot m$ )	$T_{ma x}$ ( $N \cdot m$ )	$J$ ( $kg \cdot m^{2}$ )
M3RP250 MC	11	339	310	1570	1{,}67
M3RP280 MB	15	340	421	1920	2{,}6
M3RP280 MC	18{,}5	340	520	2490	3{,}0
M3RP315 LA	25	340	702	3140	5{,}5
M3RP355 LA	60	342	1670	11840	14
M3RP400 MA	85	343	2360	13600	22

Accouplement (accouplements à denture RDZ … DTO, annexe F) : couple nominal $C_{M N} = 1700 N \cdot m$ , défauts d'alignement radial $d_{r} < 1 mm$ , axial $d_{a} < 0, 5 mm$ , angulaire $θ_{a} < 0, 5^{\circ}$ ; arbres de diamètre $D_{a} = 90 mm$ ( $d_{ma x}$ : alésage maximal).

Taille	$T_{K N}$ ( $N \cdot m$ )	$n_{ma x}$ (tr/min)	$d_{ma x}$ (mm)	axial (mm)	radial (mm)	angul.
0010	1330	8000	52	$\pm 0, 5$	0{,}5	$1, 5^{\circ}$
0015	2860	6500	65	$\pm 0, 5$	0{,}8	$1, 5^{\circ}$
0020	5000	5600	80	$\pm 0, 5$	1{,}0	$1, 5^{\circ}$
0025	10000	5000	98	$\pm 0, 5$	1{,}2	$1, 5^{\circ}$
0030	16000	4400	115	$\pm 0, 5$	1{,}4	$1, 5^{\circ}$

Q45. Représenter les trois défauts d'alignement (axial, radial, angulaire, amplifiés à $5 mm$ , $5 mm$ et $1 5^{\circ}$ ) en redessinant l'arbre idéal avec le défaut, le point $B$ et la cote du défaut.
Q46. Choisir la taille d'accouplement et justifier.

Corrigé

Q41. Le rouleau le plus rapide est un rouleau aval, dont la périphérie roule sans glisser sur la brame à $v_{R 2}$ : $ω_{R} = \frac{2 v _{R 2}}{D _{R}}$ et $N_{R} = \frac{60 ω _{R}}{2 π}$ , d'où

$N_{R} = \frac{60 v _{R 2}}{π D _{R}} = \frac{60 \times 6}{π \times 0 , 356} \approx 322 mi n^{- 1}$

(cohérent avec $N_{R ma x} = 320 mi n^{- 1}$ des données moteur). Le rouleau n'est chargé que pendant que la brame de longueur $L_{b}$ défile sur lui, ce qui correspond à une longueur $L_{b}$ de périphérie déroulée :

$N_{b t / B} = \frac{L _{b}}{π D _{R}} = \frac{10}{π \times 0 , 356} \approx 8, 9 tours par brame .$

Il passe $\frac{24 \times 60}{Δ T} = \frac{1440}{7} \approx 206$ brames par jour (ligne en fonctionnement continu) :

$N_{b t / j} = \frac{L _{b}}{π D _{R}} \cdot \frac{24 \times 60}{Δ T} \approx 8, 94 \times 206 \approx 1, 84 \times 1 0^{3} tours par jour (Δ T en min) .$

(Avec l'hypothèse de production $20 h$ sur $24$ donnée seulement en partie IV, on obtiendrait $\approx 1, 5 \times 1 0^{3}$ tours par jour ; la conclusion de Q42 n'en dépend pas.)

Q42. Charge purement radiale : charge dynamique équivalente $P = F_{R}$ , corrigée $P_{corrig e ˊ e} = f_{L} F_{R} = 3 \times 26 = 78 kN$ . Roulement à rouleaux : exposant $n = 10/3$ (et non $3$ , réservé aux roulements à billes) :

$L_{10 C} = (\frac{C}{f _{L} F _{R}})^{10/3} = (\frac{743}{78})^{10/3} \approx 9, 5^{10/3} \approx 1, 8 \times 1 0^{3} millions de tours$

(lecture de l'annexe D entre $9^{10/3} \approx 1516$ et $1 0^{10/3} \approx 2154$ ; le calcul donne $1832$ ). Nombre de jours de fonctionnement :

$N_{b J R} = \frac{1 0 ^{6} L _{10 C}}{N _{b t / j}} \approx \frac{1 , 83 \times 1 0 ^{9}}{1 , 84 \times 1 0 ^{3}} \approx 1, 0 \times 1 0^{6} jours,$

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