Corrigé Banque PT 2025 Sciences industrielles C PT — Partie I (QI.1 à QI.10) : Énergie à bord d'un IMOCA : parc LiFePO4 8S5P, sources de production, chaîne de conversion, puissance de Betz, calage variable

Sujet officiel du concours Banque PT, session 2025, épreuve Sciences industrielles C PT. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Sujet officiel (PDF, site du concours)

Énoncé

L'hydrogénérateur Racing Aluminium (Watt & Sea) équipe les IMOCA du Vendée Globe : une hélice à pas variable de diamètre $200 mm$ , entraînée par l'eau, est en prise directe avec une machine synchrone triphasée à aimants permanents (génératrice) reliée à un régulateur/convertisseur qui recharge les batteries. Deux hydrogénérateurs (bâbord, tribord) fonctionnent en alternance ; puissance nominale (et maximale) $600 W$ , plage de fonctionnement $5$ à $30$ nœuds. Consommation horaire moyenne à bord $240 Wh$ , tension nominale $24 V$ (de $25, 6 V$ à $100%$ de charge à $20 V$ à $0%$ ). Étude : $15$ nœuds ( $7, 5 m \cdot s^{- 1}$ ), course de $80$ jours, $ρ \approx 1000 kg \cdot m^{- 3}$ .

Cellule LiFePO4	$3, 2 V$ nominal ( $2, 5 V$ minimum), $100 Ah$ , $160 Wh \cdot k g^{- 1}$
Diesel + alternateur	$3600 W$ électriques, $0, 75 L \cdot h^{- 1}$ , $160 kg$ , gazole $830 kg \cdot m^{- 3}$
Photovoltaïque	$1300 Wc$ , $3 kWh$ par jour en moyenne, $25 kg$
Hydrogénérateur	$2$ unités de $10 kg$ , $600 W$ à $15$ nœuds

Un parc $x S y P$ compte $x$ groupes en série de $y$ cellules en parallèle.

Figure 1 — Chaîne de conversion du document réponse : une case par sortie d'élément (et une sous la batterie) où inscrire la nature de l'énergie.

Figure 2 — Document VI : puissance produite (trait plein, axe de gauche) et traînée (tirets, axe de droite) pour deux angles de calage $β$ ; zone grisée : décrochage.

QI.1. Capacité minimale (Ah) du parc pour $48 h$ d'autonomie.
QI.2. Choisir et justifier $x$ et $y$ .
QI.3. Capacité et énergie stockée du parc retenu.
QI.4. Durées de charge $T_{diesel}$ , $T_{pv}$ , $T_{hydro}$ compensant la consommation journalière ; conclure.
QI.5. Masses embarquées au départ $m_{diesel}$ , $m_{pv}$ , $m_{hydro}$ ; justifier un mix de production.
QI.6. Compléter la chaîne de conversion (figure 1).
QI.7. Montrer que la puissance disponible vaut $P_{t h} = \frac{1}{2} ρS V^{3}$ .
QI.8. Sachant (loi de Betz) $P_{m a x} = \frac{16}{27} P_{t h} \approx 4 kW$ , citer au moins deux facteurs influant sur la production réelle.
QI.9. Un avantage et deux inconvénients d'un calage variable des pales.
QI.10. Pourquoi limiter la puissance à $600 W$ ?

Corrigé

Parc de batteries (QI.1 à QI.3).

QI.1. L'énergie consommée en $Δ t = 48 h$ est $E_{48} = P_{moy} Δ t = 240 \times 48 = 11520 Wh$ . Sous la tension nominale $U_{n} = 24 V$ , la capacité (charge électrique) correspondante est

$Q_{m i n} = \frac{E _{48}}{U _{n}} = \frac{11 520 Wh}{24 V} = 480 Ah .$

(Un raisonnement prudent à la tension de fin de décharge, $20 V$ , donnerait $576 Ah$ ; la valeur attendue est celle calculée à la tension nominale.)

QI.2. Nombre $x$ de groupes en série (fixe la tension) : il faut $x \cdot 3, 2 V \geq 24 V$ , soit $x \geq 7, 5$ , donc $x = 8$ . Vérification : $8 \times 3, 2 = 25, 6 V$ chargé et $8 \times 2, 5 = 20 V$ en fin de décharge : c'est exactement la plage $20$ – $25, 6 V$ annoncée pour les circuits. Avec $7$ cellules, on n'aurait que $22, 4 V$ nominal.

Nombre $y$ de cellules en parallèle (fixe la capacité, les capacités de cellules en parallèle s'ajoutent) : $y \cdot 100 Ah \geq 480 Ah$ , soit $y \geq 4, 8$ , donc $y = 5$ . Parc 8S5P, $40$ cellules.

QI.3. Capacité $Q = 5 \times 100 = 500 Ah$ sous $8 \times 3, 2 = 25, 6 V$ nominal ; énergie stockée

$E = U Q = 25, 6 V \times 500 Ah = 12800 Wh = 12, 8 kWh$

(soit $40 \times 3, 2 \times 100$ ), environ $46 MJ$ . Ordre de grandeur : avec $160 Wh \cdot k g^{- 1}$ , ces cellules pèsent $12 800/160 = 80 kg$ , ce qui est cohérent avec un voilier de course. Avec une profondeur de décharge de $80$ à $100%$ , l'énergie réellement utilisable reste supérieure ou de l'ordre des $11, 5 kWh$ requis.

Sources de production (QI.4, QI.5).

QI.4. Consommation journalière : $E_{j} = 240 Wh/h \times 24 h = 5760 Wh$ . La durée de charge d'une source de puissance $P$ est $T = E_{j} / P$ .

Diesel ( $3600 W$ ) : $T_{diesel} = 5760/3600 = 1, 6 h$ , soit $1 h 36 min$ par jour.
Photovoltaïque : la donnée exploitable est la production moyenne de $3 kWh$ par jour, inférieure à $E_{j}$ . Il faut $5, 76/3 = 1, 92$ jour, soit $T_{pv} \approx 46 h$ de production pour couvrir $24 h$ de consommation : impossible (la puissance crête de $1300 Wc$ n'est pas disponible en moyenne : nuit, latitude, ombre des voiles).
Hydrogénérateur ( $600 W$ à $15$ nœuds) : $T_{hydro} = 5760/600 = 9, 6 h$ , soit $9 h 36 min$ par jour.

Conclusion : le diesel et l'hydrogénérateur peuvent chacun assurer seuls l'autonomie (le premier en peu de temps mais en brûlant du gazole, le second à condition de naviguer assez vite, $\approx 10 h$ par jour) ; le photovoltaïque seul ne couvre qu'environ la moitié du besoin.

QI.5. Masses à embarquer au départ pour assurer seule l'autonomie pendant $80$ jours :

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