Corrigé Banque PT 2025 Sciences industrielles C PT — Partie II (QII.1 à QII.8) : Vérin simple effet de calage des pales : course, effort, équilibre d'une pale, raideur et choix du ressort de rappel

Course et effort du vérin (QII.1, QII.2).

QII.1. Le bras $O$-maneton est perpendiculaire à la corde : il fait l'angle $\beta$ avec l'axe $\overrightarrow{x}$ de l'hélice (pour $\beta =39^{\circ }$, il est incliné de $90^{\circ }-39^{\circ }=51^{\circ }$ sur $\overrightarrow{y}$, comme sur la figure 3). Le centre $P$ du maneton a donc pour abscisse axiale

$$x_P=-e\cos \beta .$$

Le piston translate selon $\overrightarrow{x}$ et reste au contact du maneton par un plan perpendiculaire à $\overrightarrow{x}$ : sa course est la variation de $x_P$ entre les positions extrêmes,

$$c=e\left(\cos {\beta }_{\min }-\cos {\beta }_{\max }\right)=e\cos 39^{\circ }=e\sin 51^{\circ }=10\times 0,78=\boxed{7,8\mathrm{mm}}\approx 8\mathrm{mm}.$$

En drapeau ($\beta =90^{\circ }$) le bras est parallèle à $\overrightarrow{y}$ et $x_P=0$. La partie IV retient d'ailleurs $c=8\mathrm{mm}$.

Ce que le correcteur attend : la projection du déplacement circulaire du maneton sur l'axe du vérin (et non la longueur d'arc $e\Delta \beta =8,9\mathrm{mm}$) ; le jury note que $70\%$ des copies échouent ici sur la trigonométrie.

QII.2. La pression $p$ agit sur la section droite de la chambre :

$$F_{\text{veˊrin}}=p_{\max }\frac{\pi D^2}{4}=5\times 10^5\times \frac{\pi \times (0,030{)}^2}{4}=5\times 10^5\times 7,07\times 10^{-4}=\boxed{353\mathrm{N}}.$$

QII.3. Pourquoi simple effet. La sécurité exige que la production continue si l'hydraulique tombe en panne (pompe, fuite, coupure de commande). Avec un vérin simple effet, la pression n'agit que dans un sens (vers le drapeau) et le ressort de rappel ramène automatiquement le piston en l'absence de pression : les pales reviennent alors au calage ${\beta }_{\min }=39^{\circ }$, position de production. Il suffit en outre d'une seule conduite d'huile dans l'arbre tournant (un seul passage tournant, moins d'étanchéités).

Position sans pression : piston en butée côté chambre (position repos), $\beta =39^{\circ }$.

Préactionneur : un distributeur hydraulique 3/2 (orifices : pression $P$, utilisation vers le vérin, retour bâche $T$), proportionnel (la pression doit varier continûment de $0$ à $5\mathrm{bar}$), à commande électrique (électroaimant proportionnel alimenté par l'électronique de bord en $10$–$60\mathrm{V}$) et rappel par ressort (monostable) : au repos, ou en cas de coupure électrique, la chambre est mise au retour, la pression tombe et le ressort du vérin ramène les pales en production. Un réducteur-régulateur de pression proportionnel normalement ouvert vers la bâche convient aussi ; dans les deux cas, le manomètre (visualisation de la pression) sert de retour d'information. Autre réponse recevable, cohérente avec le coffret hydraulique du document I (pompe à engrenages brushless, alimentation $10$–$60\mathrm{V}$) : le variateur (onduleur) du moteur de pompe, qui règle la pression par la vitesse de la pompe, la chambre retombant à la bâche par une fuite calibrée dès l'arrêt de la pompe.

Équilibre d'une pale (QII.4, QII.5).

QII.4. Système isolé : une pale, hélice à l'arrêt (pas d'effet d'inertie), poids négligé devant les efforts hydrodynamiques. Actions extérieures :

• eau $\to$ pale : glisseur ${\overrightarrow{F}}_{\mathrm{hydro}}=F_{\mathrm{hydro}}\overrightarrow{x}$ appliqué au milieu $G$ de la plaque, à $y_G=\frac{L}{2}-a=12,5-8=4,5\mathrm{mm}$ au-dessus de $O$ (et au milieu de l'envergure) ;
• piston $\to$ pale : contact ponctuel sans frottement en $A$, de normale $\overrightarrow{x}$ : glisseur $-F_{\text{piston/pale}}\overrightarrow{x}$ en $A$, avec $y_A=e\cos 51^{\circ }=6,3\mathrm{mm}$ ;
• moyeu $\to$ pale : liaison pivot parfaite d'axe $(O,\overrightarrow{z})$ : torseur $\{{\overrightarrow{R}}_O=X_O\overrightarrow{x}+Y_O\overrightarrow{y}+Z_O\overrightarrow{z};{\overrightarrow{M}}_O=L_O\overrightarrow{x}+M_O\overrightarrow{y}\}$, de moment nul sur $\overrightarrow{z}$.