Corrigé Banque PT 2025 Sciences industrielles C PT — Partie II (QII.9 à QII.12) : Emmanchement conique arbre/moyeu : couple transmis, effort de serrage et pression de contact, traction du bout d'arbre

Sujet officiel du concours Banque PT, session 2025, épreuve Sciences industrielles C PT. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Sujet officiel (PDF, site du concours)

Énoncé

Le moyeu porte pales (aluminium 6061 T6) est encastré sur le bout conique de l'arbre d'hélice (inox 316) par un écrou M12 $\times$ 1,25 avec rondelle ; l'huile du vérin arrive par une conduite centrale $\emptyset 4$ percée dans l'arbre. La puissance maximale ( $600 W$ ) est atteinte à $600 tr \cdot mi n^{- 1}$ , avec une traînée de $300 N$ sur l'hélice. Le couple est transmis par adhérence, sous une pression de contact $p_{0}$ supposée uniforme ; le calcul donne $p_{0} = 6 N \cdot m m^{- 2}$ puis, avec un coefficient de sécurité de $2$ (effet de la traînée), un effort de serrage de l'écrou $F_{p} = 2000 N$ .

Figure 4 — Bout d'arbre d'hélice (document VIII), cotes nominales en mm : cône de demi-angle $1 0^{\circ}$ ( $\emptyset 20$ à $\emptyset 14$ ), portées $\emptyset 13$ / $\emptyset 14$ et gorge $\emptyset 12$ des joints toriques, gorge de dégagement $\emptyset 10$ , filetage M12, alésage central $\emptyset 4$ (lamage en bout non coté, $\approx \emptyset 6$ lu sur le dessin).

Matériau	$R_{m}$ (MPa)	$R_{p 0, 2}$ (MPa)	$E$ (GPa)	$A %$
316 (X2CrNiMo17-12-2)	$517$	$207$	$193$	$45$
6061 T6 (AlMg1SiCu)	$290$	$240$	$67$	$13$

QII.9. Expression et valeur du couple $C_{h e ˊ lice}$ à transmettre.
QII.10. Relier $F_{p}$ , $p_{0}$ et les dimensions utiles du cône (démarche).
QII.11. Sollicitation du bout d'arbre (frottements de l'assemblage vissé négligés), lieu et expression de la contrainte maximale, valeur de $σ_{m a x}$ .
QII.12. Avec un coefficient de $3$ (concentrations de contraintes), conclure sur la tenue.

Corrigé

QII.9. La liaison transmet la puissance de l'hélice à l'arbre de la génératrice : $P = C_{h e ˊ lice} ω$ , avec $ω = \frac{2 π N}{60} = \frac{2 π \times 600}{60} = 20 π \approx 62, 8 rad \cdot s^{- 1}$ :

$C_{h e ˊ lice} = \frac{P}{ω} = \frac{600}{20 π} = 9, 5 N \cdot m .$

C'est un minorant : en prenant en compte le rendement de la génératrice ( $η < 1$ ), le couple mécanique à transmettre vaut $P_{e ˊ lec} / (η ω)$ , un peu plus grand.

QII.10. Démarche. On isole le moyeu (ou l'arbre). Notations : demi-angle du cône $α = 1 0^{\circ}$ , rayons extrêmes de la portée $R = 10 mm$ et $r = 7 mm$ (longueur de génératrice $ℓ = (R - r) / sin α$ , longueur axiale $(R - r) / tan α \approx 17 mm$ ). Un élément de surface $d S = 2 π ρ d s$ de la portée, au rayon $ρ$ , reçoit l'effort normal $p_{0} d S$ , incliné de $α$ sur le plan radial ; sa composante axiale vaut $p_{0} d S sin α$ . Avec $d s = d ρ / sin α$ :

$d F_{a x} = p_{0} 2 π ρ \frac{d ρ}{sin α} sin α = 2 π p_{0} ρ d ρ ⟹ F_{p} = \int_{r}^{R} 2 π p_{0} ρ d ρ = p_{0} π (R^{2} - r^{2}) .$

C'est le résultat général : l'effort axial d'une pression uniforme est la pression multipliée par la surface projetée sur un plan perpendiculaire à l'axe (couronne $\emptyset 20$ / $\emptyset 14$ ). Le principe fondamental de la statique appliqué au moyeu, en résultante selon l'axe (frottement de glissement axial non mobilisé une fois le serrage établi), donne donc

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