Corrigé Banque PT 2026 Informatique et modélisation PT — Partie 1.3 (Q15 à Q22) : Ondes radio dans l'eau de mer : effet de peau

Sujet officiel du concours Banque PT, session 2026, épreuve Informatique et modélisation PT. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Sujet officiel (PDF, site du concours)

Énoncé

On étudie dans l'eau de mer une onde plane monochromatique $E (x, y, z, t) = E_{0} e^{i (ω t - k z)} e_{x}$ , avec $E_{0}$ et $ω$ réels, $k$ complexe. L'eau de mer est un conducteur ohmique de conductivité $γ = 4 Ω^{- 1} \cdot m^{- 1}$ ; fréquences envisagées d'abord : $10 kHz$ à $100 kHz$ . La loi d'Ohm locale est admise valable jusqu'à $f_{m} = 1 0^{13} Hz$ . Dans l'eau, l'équation de Maxwell-Ampère s'écrit $rot B = μ_{0} ( + ϵ \partial E / \partial t)$ , avec $μ_{0} \approx 1 0^{- 6} H \cdot m^{- 1}$ , $ϵ \approx 80 ϵ_{0}$ et $ϵ_{0} \approx 1 0^{- 11} F \cdot m^{- 1}$ . Calculatrice interdite : un ou deux chiffres significatifs suffisent.

Q15. Rappeler la loi d'Ohm locale.
Q16. Montrer que le courant de déplacement est négligeable devant le courant de conduction si $ω$ est inférieure à une pulsation critique à exprimer.
Q17. On admet alors $ρ = 0$ dans l'eau. Montrer que $Δ E - μ_{0} γ \frac{\partial E}{\partial t} = 0$ .
Q18. Déterminer les valeurs possibles de $k$ pour l'onde plane proposée.
Q19. En déduire que l'onde se propageant de $z = 0$ vers $z = + \infty$ s'écrit $E = E_{0} e^{i (ω t - z / δ)} e^{- z / δ} e_{x}$ ; exprimer $δ$ en fonction de $μ_{0}$ , $γ$ , $ω$ ; valeur à $100 kHz$ .
Q20. Facteur d'atténuation de l'amplitude à la profondeur $L = 1 km$ pour $f = 100 kHz$ ; conclure.
Q21. Aux fréquences plus élevées, ce modèle ne vaut plus. À quel domaine du spectre correspond $f = 5 \times 1 0^{14} Hz$ ?
Q22. Quelle observation courante montre qu'on ne peut pas communiquer avec un sous-marin à $1 km$ de profondeur dans ce domaine ?

Corrigé

Q15. Dans un conducteur ohmique de conductivité réelle $γ$ , la loi d'Ohm locale relie la densité volumique de courant au champ électrique :

$ = γ E$

$γ$ en $S \cdot m^{- 1} = Ω^{- 1} \cdot m^{- 1}$ , $$ en $A \cdot m^{- 2}$ .

Q16. En régime sinusoïdal de pulsation $ω$ , $\partial / \partial t$ se traduit en notation complexe par une multiplication par $i ω$ . Les normes des deux termes de Maxwell-Ampère sont donc :

courant de conduction : $ = γ E$ ;
courant de déplacement : $ϵ \partial E / \partial t = ϵ ω E$ .

Leur rapport vaut $\frac{ϵ ω}{γ}$ (sans dimension : $ϵ ω$ et $γ$ s'expriment tous deux en $S \cdot m^{- 1}$ ). Le courant de déplacement est négligeable si ce rapport est très petit devant 1, c'est-à-dire si

$ω ≪ ω_{c} = \frac{γ}{ϵ}, ω_{c} = \frac{4}{80 \times 1 0 ^{- 11}} = 5 \times 1 0^{9} rad \cdot s^{- 1} (f_{c} = ω_{c} /2 π \approx 8 \times 1 0^{8} Hz) .$

Pour $f = 100 kHz$ , $ω \approx 6 \times 1 0^{5} rad \cdot s^{- 1}$ et le rapport vaut environ $1 0^{- 4}$ : l'approximation est excellente dans tout le domaine étudié (et $f_{c} < f_{m}$ , donc la loi d'Ohm reste valable jusqu'à $f_{c}$ ).

Q17. Hypothèses : $ρ = 0$ , courant de déplacement négligé, loi d'Ohm. Les équations de Maxwell s'écrivent alors

$div E = 0, rot E = - \frac{\partial B}{\partial t}, rot B = μ_{0} γ E .$

On prend le rotationnel de Maxwell-Faraday et on utilise l'identité $rot (rot E) = grad (div E) - Δ E$ :

$grad (div E) - Δ E = - \frac{\partial}{\partial t} (rot B) = - μ_{0} γ \frac{\partial E}{\partial t} .$

100 % gratuit

La suite du corrigé est sur Adloun

Le corrigé rédigé en entier, question par question, et le tuteur pour poser des questions sur ce sujet.

Voir le corrigé complet, gratuitement

Inscription gratuite en 30 secondes (e-mail, nom d'utilisateur, mot de passe, classe ou profil), sans carte bancaire : arrivée directe sur le corrigé.

Toutes les parties de l'épreuve

Corrigé complet gratuit →