Corrigé Banque PT 2026 Informatique et modélisation PT — Partie 2.4 (Q45 à Q50) : Classification des sons sous-marins par les k plus proches voisins

Q45. L'algorithme des $k$ plus proches voisins est un algorithme d'apprentissage supervisé : on dispose d'une base d'apprentissage de points étiquetés, ici des couples (fréquence, niveau) dont l'origine est connue. Pour classer un nouveau point, on procède ainsi :

• on calcule sa distance (ici euclidienne) à chacun des points de la base d'apprentissage ;
• on sélectionne les $k$ points de la base les plus proches ;
• on attribue au nouveau point la classe majoritaire parmi ces $k$ voisins (vote).

Il n'y a pas de phase d'entraînement à proprement parler, la base est le modèle. En revanche, chaque prédiction coûte $O(n)$ calculs de distance pour une base de $n$ points, plus la sélection des $k$ plus petits. La qualité du classement repose sur l'idée que des sons voisins dans l'espace des descripteurs ont la même origine.

Q46. On choisit $k$ expérimentalement. On sépare les données étiquetées en un jeu d'entraînement et un jeu de validation (ou l'on pratique la validation croisée), on mesure le taux de bonnes prédictions en validation pour plusieurs valeurs de $k$, et l'on retient celle qui le maximise. Pour deux classes, on prend $k$ impair afin d'éviter les égalités de vote ; l'ordre de grandeur $k\approx \sqrt{N}$, où $N$ est la taille du jeu d'entraînement, est un point de départ usuel.

• $k$ trop petit (à la limite $k=1$) : la prédiction dépend d'un seul voisin, donc du bruit et des points aberrants. La frontière de décision est très découpée : c'est le surapprentissage, parfait sur les données d'entraînement mais fragile sur des données nouvelles.
• $k$ trop grand (à la limite $k=N$) : tous les points votent et chaque nouveau point reçoit la classe majoritaire de toute la base. La frontière disparaît : c'est le sous-apprentissage. Le coût de chaque prédiction augmente aussi.

Q47. On extrait les coordonnées des couples par affectation multiple, puis on applique la formule de Pythagore :

def distance_euclidienne(A, B):
    freq_A, dB_A = A
    freq_B, dB_B = B
    return ((freq_A - freq_B) ** 2 + (dB_A - dB_B) ** 2) ** 0.5

Pour les deux premières lignes du fichier, $(21,236;186,37)$ et $(31,959;174,75)$, la fonction renvoie environ $15,8$. L'élévation à la puissance $0,5$ évite d'importer sqrt, qui ne figure pas dans la liste des fonctions fournies.