Corrigé Banque PT 2026 Informatique et modélisation PT — Parties 1.1 et 1.2 (Q1 à Q14) : Capteur immergé (poussée d'Archimède) et rayons sonores dans un océan stratifié

Q1. On isole une particule de fluide de volume $\mathrm{d}\tau$, au repos dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Elle subit son poids $\mu \overrightarrow{g}\mathrm{d}\tau$ et la résultante des forces de pression $-\overrightarrow{\mathrm{grad}}P\mathrm{d}\tau$. Son équilibre donne l'équation locale de la statique des fluides :

$$\boxed{\overrightarrow{\mathrm{grad}}P=\mu \overrightarrow{g}}$$

C'est une relation vectorielle, indépendante de tout repère. Ce que le correcteur attend : cette forme vectorielle d'abord (le jury regrette que beaucoup de copies donnent directement une projection, souvent avec une erreur de signe).

Q2. Ici $\overrightarrow{g}=g{\overrightarrow{e}}_z$ puisque ${\overrightarrow{e}}_z$ est descendant. La projection de Q1 donne $\partial P/\partial x=\partial P/\partial y=0$ et $\mathrm{d}P/\mathrm{d}z=+\mu g$ : la pression ne dépend que de la profondeur et croît avec elle. En intégrant de la surface ($P(0)=P_0$) à la profondeur $z$, avec $\mu$ uniforme (liquide incompressible) :

$$\boxed{P(z)=P_0+\mu gz}$$

Pour $\mu g=10^4\mathrm{Pa}\cdot {\mathrm{m}}^{-1}$, la pression augmente d'environ $1\mathrm{bar}$ tous les $10\mathrm{m}$.

Q3. La force pressante exercée par l'eau sur un élément de surface $\mathrm{d}S$ de la paroi est $\mathrm{d}\overrightarrow{F}=-P\mathrm{d}S{\overrightarrow{n}}_{\mathrm{ext}}$, où ${\overrightarrow{n}}_{\mathrm{ext}}$ est la normale sortante du cylindre : l'eau pousse la paroi vers l'intérieur.

• Face $A$ (en haut) : ${\overrightarrow{n}}_{\mathrm{ext}}=-{\overrightarrow{e}}_z$, profondeur uniforme $H-L/2$, aire $\pi R^2$ :

$$\boxed{{\overrightarrow{f}}_A=[P_0+\mu g(H-\frac{L}{2}\left)\right]\pi R^2{\overrightarrow{e}}_z}$$

dirigée vers le bas.

• Face $B$ (en bas) : ${\overrightarrow{n}}_{\mathrm{ext}}=+{\overrightarrow{e}}_z$, profondeur $H+L/2$ :

$$\boxed{{\overrightarrow{f}}_B=-[P_0+\mu g(H+\frac{L}{2}\left)\right]\pi R^2{\overrightarrow{e}}_z}$$

dirigée vers le haut.

Q4. Avec $H-L/2=3950\mathrm{m}$ : $P_A=10^5+10^3\times 10\times 3950\approx 3,96\times 10^7\mathrm{Pa}$ (environ $400\mathrm{bar}$ ; la pression atmosphérique est négligeable). L'aire vaut $\pi R^2=\pi \times (2\times 10^{-2}{)}^2\approx 1,26\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^2$ (attention à la conversion des centimètres). D'où

$$\Vert {\overrightarrow{f}}_A\Vert =P_A\pi R^2\approx 3,96\times 10^7\times 1,26\times 10^{-3}\approx 5\times 10^4\mathrm{N}.$$

Une masse $m$ posée sur la face exercerait son poids $mg$ ; l'égalité $mg=\Vert {\overrightarrow{f}}_A\Vert$ donne

$$m=\frac{\Vert {\overrightarrow{f}}_A\Vert }{g}\approx 5\times 10^3\mathrm{kg}\approx 5\mathrm{t}.$$

Une face de $4\mathrm{cm}$ de diamètre supporte donc l'équivalent d'une camionnette posée dessus : le boîtier doit être dimensionné en conséquence.

Q5. Sur la paroi latérale, en coordonnées cylindriques d'axe celui du cylindre, un élément de surface $\mathrm{d}S=R\mathrm{d}\phi \mathrm{d}z$ reçoit $\mathrm{d}{\overrightarrow{f}}_C=-P(z)R\mathrm{d}\phi \mathrm{d}z{\overrightarrow{e}}_r$. Pour une profondeur $z$ fixée, les éléments d'angles $\phi$ et $\phi +\pi$ subissent la même pression $P(z)$ et ont des normales opposées (${\overrightarrow{e}}_r(\phi +\pi )=-{\overrightarrow{e}}_r(\phi )$) : leurs forces se compensent deux à deux. Par le calcul :