Corrigé Banque PT 2026 Informatique et modélisation PT — Parties 2.1 et 2.2 (Q23 à Q36) : Trajet d'un rayon sonore : schéma d'Euler, réfraction et réflexion totale

Q23. Le schéma d'Euler explicite remplace, sur $[x_n,x_{n+1}]$, chaque dérivée par sa valeur au début du pas : $z(x_{n+1})\approx z(x_n)+\text{dx}{z}^{\prime }(x_n)$, et de même pour $\alpha$. Avec $z^{\prime }=\alpha$ et ${\alpha }^{\prime }=-Az$ :

$$\boxed{x_{n+1}=x_n+\text{dx},z_{n+1}=z_n+\text{dx}{a}_n,a_{n+1}=a_n-\text{dx}A{z}_n}$$

Les deux dernières relations n'utilisent que les valeurs au rang $n$ : c'est ce qui rend le schéma explicite.

Q24. On boucle tant que l'abscisse courante n'a pas atteint xf ; les nouvelles valeurs sont calculées toutes les trois à partir des anciennes avant l'actualisation simultanée (sinon $a_{n+1}$ serait calculé avec $z_{n+1}$, ce qui changerait le schéma).

def rayon_Euler(x0, xf, dx, z0, a0, A):
    # Initialisation des listes
    valeurs_x = [x0]
    valeurs_z = [z0]
    valeurs_a = [a0]
    x, z, a = x0, z0, a0            # valeurs courantes des variables
    # Schéma d'Euler explicite
    while x < xf:
        x_nouveau = x + dx          # calcul de x_{n+1}
        z_nouveau = z + dx * a      # calcul de z_{n+1}
        a_nouveau = a - dx * A * z  # calcul de alpha_{n+1}
        # Ajout des nouveaux éléments
        valeurs_x.append(x_nouveau)
        valeurs_z.append(z_nouveau)
        valeurs_a.append(a_nouveau)
        # Actualisation des variables
        x, z, a = x_nouveau, z_nouveau, a_nouveau
    return valeurs_x, valeurs_z

Le dernier point peut dépasser xf de moins d'un pas, ce qui est sans conséquence. Testée avec $A=(2\pi /49000{)}^2{\mathrm{m}}^{-2}$, $z_0=375\mathrm{m}$, $a_0=0$ (l'écart à l'axe du canal), la fonction reproduit la sinusoïde exacte $z_0\cos (\sqrt{A}x)$ à moins de $3\mathrm{m}$ près sur $90\mathrm{km}$ avec $\text{dx}=10\mathrm{m}$.

Q25. a0 est la valeur initiale de $\alpha =\mathrm{d}z/\mathrm{d}x$, c'est-à-dire la pente du rayon au point d'émission (Q14). C'est la tangente de l'angle d'émission du rayon par rapport à l'horizontale : $a_0=\tan a_{\mathrm{em}}=1/\tan {\theta }_0$, où ${\theta }_0$ est l'angle avec la verticale. Pour les rayons rasants du canal SOFAR (quelques degrés), $a_0\approx a_{\mathrm{em}}$ en radians ; $a_0>0$ pour un rayon émis vers le fond, $a_0<0$ vers la surface.

Q26. Le pas doit être petit devant la longueur caractéristique de variation de la trajectoire, ici sa période spatiale, pour que la discrétisation suive fidèlement les oscillations ; il ne doit pas être inutilement petit, car le nombre de pas (donc le temps de calcul et la taille des listes) vaut $(x_f-x_0)/\text{dx}$. Sur la figure 3, deux crêtes successives sont en $x\approx 15\mathrm{km}$ et $x\approx 64\mathrm{km}$ : la période vaut environ $50\mathrm{km}$. Un pas de $\text{dx}=10\mathrm{m}$ à $100\mathrm{m}$ donne $500$ à $5000$ points par période, soit $10^3$ à $10^4$ pas sur $90\mathrm{km}$, calcul instantané. On retient par exemple $\boxed{\text{dx}\approx 10\mathrm{m}}$.

Justification quantitative : pour Euler explicite, $A{z}_{n+1}^2+a_{n+1}^2=(1+A{\text{dx}}^2)(A{z}_n^2+a_n^2)$, donc l'amplitude croît artificiellement d'un facteur $\exp (A\text{dx}X/2)$ sur une distance $X$. Avec $A\approx 1,6\times 10^{-8}{\mathrm{m}}^{-2}$ et $X=90\mathrm{km}$, cela fait $+0,7\%$ pour $\text{dx}=10\mathrm{m}$, $+8\%$ pour $100\mathrm{m}$ et un doublement pour $1\mathrm{km}$ (en exécutant rayon_Euler sur $90\mathrm{km}$, on mesure $+0,6\%$, $+6\%$ et $\times 1,8$ : la borne est bonne). Le jury accepte un pas entre $10$ et $1000\mathrm{m}$ s'il est justifié.