Corrigé Banque PT 2026 Physique A PT — Partie I.1 (Q1 à Q10) : Décantation fractionnée : sédimentation de particules dans l'eau (Stokes)

Un sol est un mélange de matière organique, d'argiles (grains de taille $<2\mu \mathrm{m}$), de limons (de $2$ à $50\mu \mathrm{m}$) et de sables ($>50\mu \mathrm{m}$). Dans le « test du bocal », on agite de la terre avec de l'eau puis on laisse reposer $72\mathrm{h}$. La Figure 2 (photographie) montre alors, de bas en haut : une strate épaisse de sables, une strate de limons, une fine couche d'argiles, puis de l'eau trouble surmontée de matière organique qui flotte.

Bocal de section $S$ et de profondeur $p$ ; eau de viscosité dynamique $\eta$ et de masse volumique ${\rho }_{\mathrm{e}}$ (constantes). Axe $(Oz)$ vertical descendant, $z=0$ à la surface libre. Particules minérales sphériques de rayon $r$ et de masse volumique ${\rho }_0>{\rho }_{\mathrm{e}}$, soumises notamment à la force de frottement fluide $\overrightarrow{F}=-6\pi \eta r\overrightarrow{v}$ et à la poussée d'Archimède. Le temps de sédimentation ${\tau }_s$ est la durée pour qu'une particule partie de $z=0$ atteigne le fond $z=p$.

Q1. Exprimer les trois forces subies par une particule.
Q2. Par la seconde loi de Newton, établir l'équation différentielle sur $v_z$ ; en déduire la vitesse limite $\overrightarrow{v_{\ell }}=v_{\ell }{\overrightarrow{e}}_z$ en fonction de ${\rho }_0,{\rho }_{\mathrm{e}},r,\eta ,g$ et son signe.
Q3. Introduire un temps caractéristique ${\tau }_c({\rho }_0,r,\eta )$ et résoudre avec $v_z(0)=0$.
Q4. En déduire $z(t)$ pour $z(0)=0$, $v_z(0)=0$.
Q5. Montrer que ${\tau }_s$ vérifie $v_{\ell }\left[{\tau }_s+{\tau }_c\left(\exp (-{\tau }_s/{\tau }_c)-1\right)\right]=p$.

On donne le graphe log-log de $f:x\mapsto x-1+\exp (-x)$ (Figure 3, reproduite sur le document réponse) et le tableau ci-dessous.

Figure 3 — Représentation graphique de $f$ en échelle log-log.

	argiles ($r=1\mu \mathrm{m}$)	limons ($r=20\mu \mathrm{m}$)	sables ($r=2\mathrm{mm}$)
${\tau }_c$ (en s)	$2\times 10^{-7}$	$9\times 10^{-5}$	$0,9$
$p/(v_{\ell }{\tau }_c)$	$8\times 10^{11}$	$5\times 10^6$	$5\times 10^{-2}$

Q6. Déterminer graphiquement ${\tau }_s$ pour les sables, en détaillant la démarche.
Q7. Approcher $f(x)$ pour $x\gg 1$ ; est-ce confirmé par la Figure 3 ?
Q8. En déduire ${\tau }_s$ pour les limons et les argiles.
Q9. Soit $ϵ$ la distance parcourue par les argiles pendant la sédimentation des sables. Exprimer puis calculer $ϵ/p$ ; conclure sur l'efficacité de la séparation.
Q10. Justifier l'attente de $72\mathrm{h}$ du protocole.