Corrigé Banque PT 2026 Physique A PT — Partie I.2 (Q11 à Q20) : Sonde conductimétrique : teneur en eau d'un sol

Sujet officiel du concours Banque PT, session 2026, épreuve Physique A PT. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

La teneur en eau $H r$ d'un sol (masse d'eau par gramme de sol, sans dimension) varie de $0$ (sol sec) à $0, 40$ (sol saturé). On la mesure par conductimétrie : deux électrodes planes parallèles de surface $a \times b = 12 \times 10 c m^{2}$ , distantes de $c = 1 cm$ , sont enfoncées dans le sol, de conductivité $γ_{sol}$ , et reliées à un générateur idéal de f.é.m. $U$ constante (Figure 4). Le sol reste électriquement neutre.

Figure 4 — Géométrie de la sonde conductimétrique.

L'origine est au centre de l'armature de gauche ; $V$ et $E$ sont le potentiel et le champ entre les électrodes ; l'électrode de droite porte $Q$ , celle de gauche $- Q$ .

Q11. L'armature de gauche (potentiel $V_{g}$ ) étant à la masse, que vaut le potentiel $V_{d}$ de celle de droite ?
Q12. À quelle condition sur $a, b, c$ peut-on négliger les effets de bord ? Montrer alors par invariances et symétries que $E = E (x) e_{x}$ et $V = V (x)$ .
Q13. Par l'équation de Poisson, montrer que $V (x) = \frac{U}{c} x$ .
Q14. En déduire $E$ .
Q15. En précisant l'orientation, en déduire l'intensité $I$ entre les électrodes.
Q16. En déduire la résistance $R$ de l'échantillon de sol.
Q17. Unité de la conductivité ?

Un laboratoire fournit la Figure 5, avec $ρ_{sol} = 1/ γ_{sol}$ et $ρ_{0}$ la plus petite résistivité mesurée (donc $ρ_{sol} / ρ_{0} \geq 1$ ).

Figure 5 — (gauche) $ρ_{sol} / ρ_{0}$ en fonction de $H r$ ; (droite) $ln (ρ_{sol} / ρ_{0})$ en fonction de $1/ H r$ , avec la droite tracée par le laboratoire.

Q18. Justifier que $ρ_{sol} = ρ_{0} exp (\frac{α}{H r} + β)$ et déterminer graphiquement $α$ et $β$ .
Q19. On vise $H r_{m i n} = 0, 1 \leq H r \leq H r_{m a x} = 0, 2$ . $R$ croît-elle ou décroît-elle avec $H r$ ? Exprimer littéralement la plage $[R_{m i n}, R_{m a x}]$ correspondante.
Q20. En pratique la sonde est alimentée par $U cos (2 π f t)$ , $f = 200 Hz$ . Pourquoi ? Discuter l'hypothèse d'électroneutralité du sol.

Corrigé

Q11. Le générateur est idéal et sa flèche de tension (convention générateur) pointe vers la borne reliée à l'armature de droite : $V_{d} - V_{g} = U$ . Avec $V_{g} = 0$ ,

$V_{d} = U .$

C'est cohérent avec la charge $+ Q$ portée par l'armature de droite, au potentiel le plus élevé.

Q12. Les effets de bord sont négligeables si les électrodes se comportent comme des plans infinis vus de l'espace inter-électrodes, c'est-à-dire si leur écartement est petit devant leurs deux dimensions :

$c ≪ a et c ≪ b .$

Ici $c / a \approx 0, 08$ et $c / b = 0, 1$ : l'approximation est raisonnable, sans plus.

Dans ce modèle, les sources (charges surfaciques uniformes $\mp Q / (ab)$ sur deux plans infinis $x = 0$ et $x = c$ , sol neutre) sont :

invariantes par toute translation selon $e_{y}$ et selon $e_{z}$ : le potentiel et le champ ne dépendent ni de $y$ ni de $z$ , donc $V (x, y, z) = V (x)$ et $E = E (x)$ ;
en un point $M$ quelconque de l'espace inter-électrodes, les plans $(M, e_{x}, e_{y})$ et $(M, e_{x}, e_{z})$ sont des plans de symétrie de la distribution. $E (M)$ , vrai vecteur, appartient à ces deux plans, donc à leur intersection, la droite $(M, e_{x})$ .

Ce que le correcteur attend : les plans de symétrie passent par le point $M$ où l'on calcule le champ, pas par $O$ . Conclusion : $E = E (x) e_{x}, V = V (x)$ .

Q13. L'équation de Poisson de l'électrostatique s'écrit $Δ V + \frac{ρ}{ε} = 0$ , où $ρ$ est la densité volumique de charge et $ε$ la permittivité du milieu ; elle découle de $div E = ρ / ε$ et de $E = - grad V$ . Le sol étant électriquement neutre, $ρ = 0$ et, $V$ ne dépendant que de $x$ :

$\frac{d ^{2} V}{d x ^{2}} = 0 ⟹ V (x) = A x + B .$

Conditions aux limites : l'armature de gauche est en $x = 0$ avec $V (0) = 0$ , donc $B = 0$ ; celle de droite est en $x = c$ avec $V (c) = U$ (Q11), donc $A = U / c$ . Ainsi $V (x) = \frac{U}{c} x$ pour $0 \leq x \leq c$ .

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