Corrigé Banque PT 2026 Physique A PT — Partie I.3 (Q21 à Q31) : Commande de l'électrovanne : suiveur, comparateur à hystérésis, diode

Sujet officiel du concours Banque PT, session 2026, épreuve Physique A PT. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

L'électrovanne laisse passer l'eau (ouverte) sous une tension nulle et la bloque (fermée) sous $12 V$ ; on la modélise par une résistance $R_{C}$ . On veut déclencher l'arrosage quand $H r < H r_{m i n}$ , c'est-à-dire quand la résistance $R$ du capteur dépasse $R_{m a x} = 15Ω$ , et l'interrompre quand $H r > H r_{m a x}$ , c'est-à-dire quand $R < R_{m i n} = 5Ω$ . Le capteur $R$ est inséré dans le montage de la Figure 6. Les ALI sont idéaux, alimentés en $\pm V_{0} = \pm 12 V$ , de sortie $s$ telle que $- V_{0} \leq s \leq + V_{0}$ .

Figure 6 — Électronique de conditionnement du signal.

Q21. Bloc 1 : justifier que $R_{3}$ et $R$ sont en série ; exprimer $V_{A}$ puis $V_{B}$ .
Q22. Rôle et nom du montage de l'ALI 1 ?
Q23. Bloc 2 : exprimer $V_{C}$ en fonction de $V_{0}$ , $R_{4}$ , $R_{5}$ .
Q24. Bloc 3 : l'ALI 3 est-il en régime linéaire ? Exprimer $V_{D}$ en fonction de $V_{E}$ et $V_{B}$ ; montrer que $V_{E}$ bascule entre $\pm V_{0}$ pour deux seuils de $V_{B}$ , bas $V_{b}$ et haut $V_{h}$ , à exprimer avec $V_{C}$ , $V_{0}$ et $α = R_{1} / R_{2}$ .
Q25. Tracer $V_{E}$ en fonction de $V_{B}$ pour $0 \leq V_{B} \leq 2 V_{h}$ .
Q26. Montrer que $α = \frac{V _{h} - V _{b}}{2 V _{0}}$ et $V_{C} = \frac{V _{h} + V _{b}}{2 ( 1 + α )}$ .
Q27. On veut ouvrir la vanne quand $V_{B} < V_{b}$ et la fermer quand $V_{B} > V_{h}$ . Exprimer $V_{b}$ et $V_{h}$ avec $R_{m i n}$ , $R_{m a x}$ , $R_{3}$ , $V_{0}$ ; applications numériques pour $R_{3} = 5Ω$ .
Q28. En déduire $α$ et $V_{C}$ ; avec $R_{1} = R_{5} = 1 kΩ$ , en déduire les autres résistances (l'énoncé écrit « $R_{1}$ et $R_{4}$ »).
Q29. Tracer $V_{E}$ en fonction de $H r$ pour $0 \leq H r \leq 0, 4$ et repérer les basculements.

Figure 7 — Caractéristique courant-tension d'une diode idéale.

Q30. En déduire rigoureusement $V_{F}$ selon la valeur de $V_{E}$ .
Q31. Tracer $V_{F}$ en fonction de $H r$ et vérifier que l'électrovanne est correctement commandée.

Corrigé

Q21. L'ALI 1 étant idéal, le courant entrant par sa borne non inverseuse est nul : $i_{+} = 0$ . Au nœud $A$ , le courant qui traverse $R$ est donc intégralement celui qui traverse $R_{3}$ : les deux résistances sont parcourues par le même courant, elles sont en série (le fait que l'ALI soit idéal suffit ; son régime n'intervient pas ici). La formule du pont diviseur de tension donne

$V_{A} = \frac{R _{3}}{R + R _{3}} V_{0} .$

L'ALI 1 est bouclé sur son entrée inverseuse (sortie reliée directement à $e_{-}$ ) : cette rétroaction négative stabilise un fonctionnement en régime linéaire, où $V_{+} = V_{-}$ pour un ALI idéal. Avec $V_{+} = V_{A}$ et $V_{-} = V_{B}$ :

$V_{B} = V_{A} = \frac{R _{3}}{R + R _{3}} V_{0} .$

On vérifie $0 < V_{B} < V_{0}$ : l'ALI 1 n'est pas saturé.

Q22. C'est un montage suiveur (gain unité). Il n'amplifie rien ; il sert d'adaptateur d'impédance : son impédance d'entrée infinie ne prélève aucun courant sur le pont diviseur $(R, R_{3})$ , dont la tension $V_{A}$ n'est donc pas modifiée par la suite du montage, et son impédance de sortie nulle impose $V_{B} = V_{A}$ quel que soit le courant débité dans $R_{1}$ . Sans lui, le courant dans $R_{1}$ fausserait la mesure de $R$ .

Q23. L'entrée inverseuse de l'ALI 3 ne prélève aucun courant ( $i_{-} = 0$ ) : $R_{4}$ et $R_{5}$ sont en série et forment un pont diviseur,

$V_{C} = \frac{R _{5}}{R _{4} + R _{5}} V_{0} .$

Q24. L'ALI 3 n'a aucune rétroaction sur son entrée inverseuse ; sa sortie est ramenée, via $R_{2}$ , sur l'entrée non inverseuse : c'est une rétroaction positive, qui rend le régime linéaire instable. L'ALI 3 fonctionne en régime saturé : $V_{E} = + V_{0}$ si $ε = V_{+} - V_{-} > 0$ et $V_{E} = - V_{0}$ si $ε < 0$ .

Potentiel de $D$ . Comme $i_{+} = 0$ , $R_{1}$ et $R_{2}$ sont parcourues par le même courant ; la loi des nœuds en termes de potentiels (théorème de Millman) en $D$ donne

$V_{D} = \frac{\frac{V _{B}}{R _{1}} + \frac{V _{E}}{R _{2}}}{\frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}}} = \frac{R _{2} V _{B} + R _{1} V _{E}}{R _{1} + R _{2}} ⟹ V_{D} = \frac{V _{B} + α V _{E}}{1 + α}, α = \frac{R _{1}}{R _{2}} .$

Seuils. Ici $V_{+} = V_{D}$ et $V_{-} = V_{C}$ , d'où $ε = V_{D} - V_{C}$ .

100 % gratuit

La suite du corrigé est sur Adloun

Le corrigé rédigé en entier, question par question, et le tuteur pour poser des questions sur ce sujet.

Voir le corrigé complet, gratuitement

Inscription gratuite en 30 secondes (e-mail, nom d'utilisateur, mot de passe, classe ou profil), sans carte bancaire : arrivée directe sur le corrigé.

Toutes les parties de l'épreuve

Corrigé complet gratuit →