Corrigé Banque PT 2026 Physique A PT — Partie II (Q32 à Q40) : Écoulement de Poiseuille dans les pores d'un tuyau micro-poreux

Q32. Le nombre de Reynolds compare les effets d'inertie aux effets visqueux ; pour un écoulement de vitesse caractéristique $v$ dans un conduit de dimension transverse $d$ :

$$\boxed{Re=\frac{\rho vd}{\eta }}(\text{sans dimension}).$$

Au goutte à goutte, la vitesse de l'eau dans le pore est faible ; prenons $v\sim 1\mathrm{cm}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$. Avec $\rho =1,0\times 10^3\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^{-3}$ (et non $1$ !) et $d=2\times 10^{-5}\mathrm{m}$ :

$$Re\sim \frac{10^3\times 10^{-2}\times 2\times 10^{-5}}{10^{-3}}=\boxed{0,2}.$$

Le résultat est peu sensible à ce choix : toute vitesse entre $1\mathrm{cm}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$ et $1\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$ donne $Re$ entre $0,2$ et $20$.

Q33. $Re\ll 2000$, et même $Re\lesssim 1$ : l'écoulement est laminaire, dominé par la viscosité. Cette conclusion est robuste : même avec $v=1\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$, $Re=20$ resterait très inférieur au seuil de transition. (On verra à Q39 que la vitesse moyenne réelle est de l'ordre de $0,6\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$, soit $Re\approx 13$ : toujours laminaire.)

Q34. Le champ eulérien donne la vitesse de la particule qui se trouve au point $M$ à l'instant $t$. Une particule située à la distance $r$ de l'axe a une vitesse $v(r){\overrightarrow{e}}_z$, parallèle à l'axe : elle n'a ni composante radiale ni composante orthoradiale, donc son $r$ (et son $\theta$) ne change pas au cours du mouvement. Elle se déplace ainsi sur une droite parallèle à $(Oz)$, en des points où la vitesse eulérienne vaut toujours $v(r){\overrightarrow{e}}_z$ (champ indépendant de $z$ et de $t$). Sa vitesse est donc constante : mouvement rectiligne uniforme. Formellement, l'accélération particulaire est nulle :

$$\overrightarrow{a}=\frac{\partial \overrightarrow{v}}{\partial t}+(\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{\mathrm{grad}})\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}+v(r)\frac{\partial }{\partial z}(v(r){\overrightarrow{e}}_z)=\overrightarrow{0}.$$

Ce que le correcteur attend : un champ eulérien stationnaire ne suffit pas à conclure (dans un convergent, le champ est stationnaire mais les particules accélèrent) : il faut l'indépendance vis-à-vis de $z$ le long de la trajectoire.