Corrigé Banque PT 2026 Physique A PT — Partie III (Q41 à Q50) : Pompage : Bernoulli généralisé, limite d'aspiration, vase d'expansion

Sujet officiel du concours Banque PT, session 2026, épreuve Physique A PT. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

1. Choix de la pompe.

Puits de section $S = 1 m^{2}$ , ouvert à l'atmosphère (surface libre $A_{0}$ à la pression $P_{0}$ ) ; l'eau, puisée en $A$ , est envoyée au vase d'expansion ( $D$ ) où la pression doit atteindre $P_{m a x} = 6 bar$ , avec un débit constant $D_{p} = 1000 L \cdot mi n^{- 1}$ . Conduite : diamètre $δ = 100 mm$ , longueur $ℓ = 100 m$ . Écoulement incompressible, homogène et stationnaire. Deux montages (Figure 8).

Figure 8 — Dispositif hydraulique de puisage : pompe immergée (montage A) ou émergée (montage B).

Q41. Définir et calculer la vitesse débitante en $B$ .
Q42. Montrer qu'un montage ne peut pas fonctionner, quelle que soit la pompe. Quel savant italien a montré cette limite ?
Q43. Vitesse en $A_{0}$ ? Montrer qu'entre $A_{0}$ et $D$ , $Δ E_{c} ≪ Δ E_{p}$ .
Q44. Sans pertes de charge, calculer la puissance mécanique $P$ de la pompe quand le vase est à $P_{m a x}$ .
Q45. Nombre de Reynolds dans la conduite ; le modèle de la partie II vaudrait-il pour les pertes de charge ?
Q46. Rendements : $η_{e ˊ lec} = 70%$ (moteur) et $η_{m e ˊ ca} = 70%$ (turbine). En déduire la puissance électrique $P_{e ˊ lec}$ .

2. Vase d'expansion.

Cuve rigide de $V_{tot} = 2000 L$ ; un piston sépare un gaz parfait de l'eau (Figure 9). La pompe s'allume sous $P_{m i n} = 1, 5 bar$ et se coupe au-dessus de $P_{m a x}$ ; l'arrosage est continu. Le gaz est en contact thermique avec l'atmosphère à $T_{0} = 2 0^{\circ} C$ . Préconisations : pompe allumée au plus $4 min$ , plus de $6 min$ entre deux allumages. $V_{m i n}$ , $V_{m a x}$ : volumes d'eau extrêmes.

Figure 9 — Vue du vase d'expansion.

Q47. Les compressions et détentes étant lentes, quelle est la nature des évolutions du gaz ?
Q48. Exprimer $Δ V = V_{m a x} - V_{m i n}$ en fonction de $V_{tot}$ , $V_{m i n}$ et $α = P_{m i n} / P_{m a x}$ .

On maximise $Δ V$ pour les deux questions suivantes.

Q49. Exprimer et calculer la quantité de gaz $n_{gaz}$ à introduire ( $R = 8 J \cdot mo l^{- 1} \cdot K^{- 1}$ ).
Q50. Le réseau comporte $L = 100 m$ de tuyau micro-poreux de débit linéique $D_{lin} = 6 L \cdot m^{- 1} \cdot mi n^{- 1}$ . Calculer les durées $τ_{1}$ (pompe allumée) et $τ_{2}$ (pompe éteinte) ; les préconisations sont-elles respectées ?

Corrigé

Q41. La vitesse débitante $U$ est la vitesse uniforme qui donnerait, à travers la section, le même débit volumique que l'écoulement réel : $D_{p} = U \frac{π δ ^{2}}{4}$ . Le débit volumique se conservant (écoulement incompressible et stationnaire), il vaut $D_{p}$ en tout point de la conduite, en particulier en $B$ :

$U = \frac{4 D _{p}}{π δ ^{2}} = \frac{4 \times 1 , 67 \times 1 0 ^{- 2}}{π \times ( 0 , 1 ) ^{2}} ≃ 2, 1 m \cdot s^{- 1},$

avec $D_{p} = 1000 L \cdot mi n^{- 1} = \frac{1}{60} m^{3} \cdot s^{- 1} ≃ 1, 67 \times 1 0^{- 2} m^{3} \cdot s^{- 1}$ .

Q42. Considérons le montage B (pompe émergée, au niveau du sol) et la portion d'écoulement entre la surface libre $A_{0}$ et l'entrée $B$ de la pompe : elle ne contient aucune machine. Appliquons la relation de Bernoulli le long d'une ligne de courant de $A_{0}$ à $B$ , avec ses hypothèses : écoulement stationnaire, incompressible, fluide parfait (pertes de charge négligées, ce qui est favorable : elles ne feraient qu'abaisser encore $P_{B}$ ), pesanteur seule force de volume. Avec $z$ vertical ascendant, $z_{B} - z_{A_{0}} = h$ et $v_{A_{0}} ≃ 0$ (Q43) :

$P_{0} + ρ g z_{A_{0}} = P_{B} + \frac{1}{2} ρ U^{2} + ρ g z_{B} ⟹ P_{B} = P_{0} - ρ g h - \frac{1}{2} ρ U^{2} .$

Numériquement, avec $g = 9, 8 m \cdot s^{- 2}$ (non fournie par l'énoncé), $P_{B} ≃ 1, 0 \times 1 0^{5} - 2, 45 \times 1 0^{5} - 2, 2 \times 1 0^{3} ≃ - 1, 5 \times 1 0^{5} Pa < 0$ : une pression négative est physiquement absurde. Cette conclusion ne dépend pas de la pompe, située en aval de $B$ : même à débit nul, $P_{B} = P_{0} - ρ g h < 0$ dès que $h > \frac{P _{0}}{ρ g} ≃ 10 m$ . Une pompe ne peut pas « aspirer » l'eau à plus de $10 m$ environ ; en pratique la limite est même plus basse (environ $7$ à $8 m$ ), car l'eau se vaporise (cavitation) dès que sa pression atteint la pression de vapeur saturante, $\approx 2, 3 kPa$ à $2 0^{\circ} C$ . Le montage B ne peut pas fonctionner.

Dans le montage A, la pompe immergée est sous la surface libre : à son entrée, $P = P_{0} + ρ g (profondeur sous A_{0}) - \frac{1}{2} ρ U^{2} > 0$ ; la pompe refoule ensuite l'eau vers le haut, ce qui n'a pas de limite de principe.

Le savant est Evangelista Torricelli (1643) : il a expliqué, par la pression atmosphérique, pourquoi les fontainiers florentins ne parvenaient pas à élever l'eau par aspiration au-delà d'une dizaine de mètres, et l'a vérifié avec son tube à mercure (baromètre).

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