Corrigé Banque PT 2026 Physique B – Thermodynamique PT — Partie 1 (Q5 à Q16) : Cycle de Rankine du circuit secondaire : diagramme (T,s), titre, rendement, débit

Q5. Système : on considère un organe (volume de contrôle fixe $\mathcal{V}$, une entrée $e$, une sortie $s$) traversé en régime stationnaire par le débit massique $D_m$. On lui associe le système fermé ${\Sigma }^{\star }$ formé, à l'instant $t$, du fluide contenu dans $\mathcal{V}$ et de la masse $\delta m$ sur le point d'entrer ; à $t+\mathrm{d}t$, du fluide contenu dans $\mathcal{V}$ et de la masse $\delta m$ qui vient de sortir (même masse par stationnarité). Le premier principe appliqué à ${\Sigma }^{\star }$, en comptant le travail des forces de pression d'entrée et de sortie (travail de transvasement $P_e{v}_e-P_s{v}_s$), donne le premier principe industriel :

$$\boxed{\Delta h+\Delta e_c+\Delta e_p=w_u+q}\text{soit}{D}_m(\Delta h+\Delta e_c+\Delta e_p)={\mathcal{P}}_u+{\mathcal{P}}_{th},$$

avec $\Delta h=h_s-h_e$ la variation d'enthalpie massique, $\Delta e_c=\frac{1}{2}(c_s^2-c_e^2)$, $\Delta e_p=g(z_s-z_e)$, $w_u$ le travail utile (indiqué) massique reçu des parties mobiles, $q$ le transfert thermique massique reçu, tous en $\mathrm{J}\cdot \mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}$. En négligeant pesanteur et énergie cinétique : $\boxed{\Delta h=w_u+q}$. Ce que le correcteur attend : l'enthalpie $h$ (et non l'énergie interne $u$) et une seule formulation cohérente (massique, ou en puissances avec $D_m$).

Q6. La pompe est adiabatique et réversible, donc isentropique. L'eau y est liquide : on la modélise par une phase condensée idéale (incompressible, indilatable), pour laquelle $\mathrm{d}s=c\frac{\mathrm{d}T}{T}$. Une transformation isentropique ($\mathrm{d}s=0$) y est donc isotherme : $\boxed{T_2=T_1=100^{\circ }\mathrm{C}}$. (La loi de Laplace, propre au gaz parfait, ne s'applique pas.) Pour la suite, $\mathrm{d}h=T\mathrm{d}s+v\mathrm{d}P=v\mathrm{d}P$ donne $h_2-h_1=v(P_2-P_1)\approx 10^{-3}\times 49\times 10^5=4,9\mathrm{kJ}\cdot \mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}$, d'où $h_2\approx 445\mathrm{kJ}\cdot \mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}$ : la compression d'un liquide coûte très peu.

Q7. Le générateur de vapeur est isobare : $\boxed{P_3=P_2=50\mathrm{bar}}$. Le condenseur est isobare et ramène le fluide dans l'état 1 : $\boxed{P_4=P_1=1\mathrm{bar}}$. En 4, le fluide est un mélange liquide-vapeur en équilibre : sa température est la température de saturation sous $1\mathrm{bar}$, celle du liquide saturé de l'état 1 : $\boxed{T_4=T_1=100^{\circ }\mathrm{C}}$.

Allure du cycle (sens horaire, moteur) : $1\to 2$ quasi verticale (liquide incompressible, $v$ presque constant) ; $2\to 3$ isobare horizontale à $P_2$ : échauffement du liquide jusqu'à la courbe d'ébullition, palier de vaporisation, puis surchauffe de la vapeur au-delà de la courbe de rosée ; $3\to 4$ détente isentropique, courbe descendante qui entre sous la cloche près de la courbe de rosée ; $4\to 1$ palier de liquéfaction à $P_1$.

Ce que le correcteur attend : la courbe de saturation tracée, les points 2 (liquide), 3 (hors de la cloche, côté vapeur) et 4 (dans la cloche) bien placés, le sens horaire.

Q8. Pour un gaz parfait, $\mathrm{d}h=c_p\mathrm{d}T$ et l'identité thermodynamique $\mathrm{d}h=T\mathrm{d}s+v\mathrm{d}P$ donnent $\mathrm{d}s=c_p\frac{\mathrm{d}T}{T}-r\frac{\mathrm{d}P}{P}$ ($r=R/M$). À pression constante, en intégrant depuis un état de référence $(T_0,s_0)$ de la même isobare : $s-s_0=c_p\ln (T/T_0)$, soit

$$\boxed{T=T_0\exp \left(\frac{s-s_0}{c_p}\right)}$$

(constante d'intégration $T_0{\mathrm{e}}^{-s_0/c_p}$, qui dépend de $P$) : les isobares sont des exponentielles croissantes, qui se déduisent les unes des autres par translation horizontale de $-r\ln (P^{\prime }/P)$ (une pression plus forte décale l'isobare vers la gauche, comme sur la figure 2). Pour un gaz parfait, $h$ ne dépend que de $T$ (seconde loi de Joule) : les isenthalpes sont des isothermes, donc des droites horizontales. À entropie élevée (basses pressions, loin de la courbe de saturation), la vapeur d'eau se comporte comme un gaz parfait : les isenthalpes 2600 à $3600\mathrm{kJ}\cdot \mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}$ deviennent effectivement horizontales vers la droite du diagramme.