Corrigé Banque PT 2026 Physique B – Thermodynamique PT — Partie 2 (Q17 à Q30) : Conduite d'oxygène liquide : isolation, débitmètre de Venturi, échauffement

Sujet officiel du concours Banque PT, session 2026, épreuve Physique B – Thermodynamique PT. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Sujet officiel (PDF, site du concours)

Énoncé

Isolation. Conduite cylindrique de rayons $r_{1}$ (intérieur) et $r_{2}$ (extérieur), longueur $L$ , conductivité $λ_{a}$ , gainée d'un isolant d'épaisseur $e$ et de conductivité $λ_{i}$ (figure 3). Dioxygène à $θ_{i} = - 18 5^{\circ} C$ , air extérieur à $θ_{e} = 2 0^{\circ} C$ . Conduction radiale, régime stationnaire, effets de bord et convection intérieure négligés ; $Φ$ : flux thermique traversant le cylindre.

Figure 3 — Section droite de la conduite isolée (gris foncé : matériau $λ_{a}$ ; hachures : isolant $λ_{i}$ ).

Q17. Vérifier l'homogénéité et la pertinence (influence de $λ_{a}$ , $L$ , $r_{2} / r_{1}$ ) de $R_{t h 1} = \frac{ln ( r _{2} / r _{1} )}{2 π λ _{a} L}$ ; en déduire la résistance $R_{t h 2}$ de l'isolant.
Q18. Avec la loi de Newton $P = h_{e x t} S (T_{e x t} - T_{s})$ ( $S$ surface en contact avec l'air, $T_{s}$ température de cette paroi), déterminer la résistance de convection, puis la résistance totale $R_{t h - e q}$ de la conduite isolée.
Q19. Exprimer littéralement le flux thermique.
Q20. Étudier les variations de $R_{t h - e q}$ avec $e$ , selon que $α = h_{e x t} r_{2} / λ_{i}$ est inférieur ou supérieur à 1.
Q21. Discuter l'utilité de l'isolant selon $α$ .
Q22. Quels autres effets de la circulation de l'oxygène liquide surveiller ?

Mesure du débit. Débitmètre de Venturi horizontal (figure 4) ; l'oxygène liquide est un fluide parfait incompressible en écoulement stationnaire, de vitesse $u$ dans la conduite de section $S$ (diamètre $D$ ) et $v$ dans le col de section $s$ (diamètre $d$ ) ; la membrane mesure $P_{A} - P_{B}$ .

Figure 4 — Débitmètre de Venturi.

Q23. Exprimer $v$ en fonction de $u$ , $s$ et $S$ (justifier).
Q24. Énoncer la relation de Bernoulli et ses conditions d'application.
Q25. Exprimer $u$ en fonction de $s$ , $S$ , $P_{A}$ , $P_{B}$ et $ρ_{d}$ .
Q26. En déduire le débit massique $D_{m}$ ; montrer qu'il vaut environ $1 kg \cdot s^{- 1}$ (valeur conservée).
Q27. Fluide réel : quelles pertes de charge ce dispositif peut-il entraîner ?

Température le long de la conduite. Conduite de section constante (rayon $r_{1}$ ), longueur $L$ , axe $(O x)$ , débit $D_{m}$ (Q26), $θ (0) = θ_{i}$ ; température uniforme sur une section droite ; $c_{d i o}$ capacité thermique massique du dioxygène liquide (figure 5).

Figure 5 — Conduite de longueur $L$ parcourue selon $(O x)$ .

Q28. Établir en régime permanent l'équation différentielle vérifiée par $θ (x)$ , avec $D_{m}$ , $R_{t h - e q}$ , $c_{d i o}$ , $L$ et $θ_{e}$ .
Q29. Identifier une longueur caractéristique $δ$ ; ordre de grandeur.
Q30. Variation de température sur la longueur $L$ ; quand est-elle négligeable ? Conclure pour les conduites MESMA.

Résistance thermique de la conduite	$R_{t h - e q} = 1, 0 K \cdot W^{- 1}$
Longueur de la conduite	$L = 2 m$
Masse volumique du dioxygène liquide	$ρ_{d} = 1100 kg \cdot m^{- 3}$
Capacité thermique massique	$c_{d i o} = 1, 7 kJ \cdot k g^{- 1} \cdot K^{- 1}$
Pression différentielle mesurée	$P_{A} - P_{B} = 0, 044 bar$
Sections	$S = 27 c m^{2}$ , $s = 3 c m^{2}$

Corrigé

Q17. Homogénéité. La loi de Fourier $j_{Q} = - λ grad T$ donne à $λ$ l'unité $W \cdot m^{- 1} \cdot K^{- 1}$ ; $ln (r_{2} / r_{1})$ est sans dimension, donc $R_{t h 1}$ s'exprime en $\frac{1}{W \cdot m ^{- 1} \cdot K ^{- 1} \cdot m} = K \cdot W^{- 1}$ , unité d'une résistance thermique ( $Δ T = R_{t h} Φ$ ).

Pertinence. (i) $R_{t h 1}$ décroît quand $λ_{a}$ croît : un meilleur conducteur laisse passer davantage de flux pour le même écart de température. (ii) $R_{t h 1}$ décroît quand $L$ croît : la surface traversée ( $2 π r L$ ) augmente, les tranches de conduite sont des résistances en parallèle. (iii) $R_{t h 1}$ croît avec $r_{2} / r_{1}$ : la paroi à traverser est plus épaisse (pour une paroi mince, $r_{2} = r_{1} + ε$ , $ln (r_{2} / r_{1}) \approx ε / r_{1}$ et l'on retrouve la résistance d'un mur plan $ε / (λ_{a} 2 π r_{1} L)$ ).

On retrouve d'ailleurs l'expression : en régime stationnaire sans source, le flux à travers tout cylindre de rayon $r$ est le même, $Φ = - λ_{a} \frac{d T}{d r} 2 π r L$ , d'où $d T = - \frac{Φ}{2 π λ _{a} L} \frac{d r}{r}$ et, en intégrant, $T (r_{1}) - T (r_{2}) = Φ \frac{ln ( r _{2} / r _{1} )}{2 π λ _{a} L}$ .

L'isolant est un cylindre de rayon intérieur $r_{2}$ , extérieur $r_{2} + e$ , de conductivité $λ_{i}$ :

$R_{t h 2} = \frac{ln ( \frac{r _{2} + e}{r _{2}} )}{2 π λ _{i} L}$

Ce que le correcteur attend : les bons rayons ( $r_{2}$ et $r_{2} + e$ , et non $r_{1}$ ).

Q18. La surface en contact avec l'air est la face externe de l'isolant, $S = 2 π (r_{2} + e) L$ (surface latérale). La loi de Newton $P = h_{e x t} S (T_{e x t} - T_{s})$ s'écrit $T_{e x t} - T_{s} = R_{c v} P$ avec

$R_{c v} = \frac{1}{h _{e x t} 2 π ( r _{2} + e ) L}$

Le même flux $Φ$ traverse successivement la conduite, l'isolant et la couche limite d'air : les trois résistances sont en série (la convection intérieure est négligée) :

$R_{t h - e q} = R_{t h 1} + R_{t h 2} + R_{c v} = \frac{1}{2 π L} [\frac{ln ( r _{2} / r _{1} )}{λ _{a}} + \frac{ln ( ( r _{2} + e ) / r _{2} )}{λ _{i}} + \frac{1}{h _{e x t} ( r _{2} + e )}]$

Q19. Le flux va de l'air (chaud) vers le dioxygène (froid). Compté positivement de l'extérieur vers l'intérieur :

$Φ = \frac{θ _{e} - θ _{i}}{R _{t h - e q}} = \frac{2 π L ( θ _{e} - θ _{i} )}{\frac{ln ( r _{2} / r _{1} )}{λ _{a}} + \frac{ln ( ( r _{2} + e ) / r _{2} )}{λ _{i}} + \frac{1}{h _{e x t} ( r _{2} + e )}}$

Avec $θ_{e} - θ_{i} = 205 K$ et $R_{t h - e q} = 1, 0 K \cdot W^{- 1}$ (donnée) : $Φ = 205/1, 0 \approx 2, 0 \times 1 0^{2} W$ reçus par le dioxygène sur les $2 m$ de conduite.

Q20. Seuls $R_{t h 2}$ et $R_{c v}$ dépendent de $e$ . En dérivant :

$\frac{d R _{t h - e q}}{d e} = \frac{1}{2 π L} [\frac{1}{λ _{i} ( r _{2} + e )} - \frac{1}{h _{e x t} ( r _{2} + e ) ^{2}}] = \frac{( r _{2} + e ) - λ _{i} / h _{e x t}}{2 π L λ _{i} ( r _{2} + e ) ^{2}} .$

La dérivée a le signe de $r_{2} + e - r_{c}$ , où $r_{c} = λ_{i} / h_{e x t}$ (rayon critique). Comme $r_{2} / r_{c} = h_{e x t} r_{2} / λ_{i} = α$ :

$α > 1$ ( $r_{2} > r_{c}$ ) : $r_{2} + e > r_{c}$ pour tout $e \geq 0$ , la dérivée est positive : $R_{t h - e q}$ croît constamment avec $e$ (sans borne, comme $ln e$ ).
$α < 1$ ( $r_{2} < r_{c}$ ) : $R_{t h - e q}$ décroît pour $0 < e < e_{c} = r_{c} - r_{2} = r_{2} (\frac{1}{α} - 1)$ , passe par un minimum en $e = e_{c}$ , puis croît ; elle ne redevient égale à sa valeur sans isolant que pour une épaisseur $e_{0} > e_{c}$ .

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