Corrigé Banque PT 2026 Sciences industrielles B PT — Partie I.1 (Q1 à Q4) : Centrifugeuse : vitesse et accélération centripète du capteur

Une centrifugeuse de calibration d'accéléromètres (famille CTR, modèle CTR-20) comporte un double-bras (2), formé de deux bras solidaires $(2^{+})$ et $(2^{-})$ symétriques, en liaison pivot d'axe $(O,\overrightarrow{z})$ avec le châssis (1), lui-même encastré dans le sol (0). Base du sol $(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y},\overrightarrow{z})$, base du double-bras $({\overrightarrow{x}}_2,{\overrightarrow{y}}_2,{\overrightarrow{z}}_2)$ avec $\overrightarrow{z}={\overrightarrow{z}}_2$ et $\theta =(\overrightarrow{x},{\overrightarrow{x}}_2)=(\overrightarrow{y},{\overrightarrow{y}}_2)$ ; on note $\Omega =\dot{\theta }$. Le point $A$ est sur l'axe, $\overrightarrow{OA}=H\overrightarrow{z}$. Le capteur à calibrer, assimilé au point $M^{+}$, est en bout de bras $(2^{+})$ : $\overrightarrow{A{M}^{+}}=L{\overrightarrow{x}}_2+y_c^{+}{\overrightarrow{y}}_2+z_c^{+}\overrightarrow{z}$ (et $\overrightarrow{A{M}^{-}}=-L{\overrightarrow{x}}_2+y_c^{-}{\overrightarrow{y}}_2+z_c^{-}\overrightarrow{z}$ pour un capteur sur $(2^{-})$). Notations : ${\overrightarrow{V}}_{P,i/j}$ et ${\overrightarrow{\Gamma }}_{P,i/j}$, vitesse et accélération du point $P$ dans le mouvement de $(i)$ par rapport à $(j)$. L'axe de mesure du capteur est porté par ${\overrightarrow{x}}_2$ : l'accélération mesurée est ${\Gamma }_{M^{+}}={\overrightarrow{\Gamma }}_{M^{+},2/0}\cdot {\overrightarrow{x}}_2$. Données (annexe N) : $L=1\mathrm{m}$, ${\Gamma }_{\max }=1000\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-2}$ (environ $100g$).

Figure 9 — Schématisation et paramétrage de la centrifugeuse ; $\overrightarrow{H^{+}{M}^{+}}=y_c^{+}{\overrightarrow{y}}_2+z_c^{+}{\overrightarrow{z}}_2$, $\overrightarrow{H^{-}{M}^{-}}=y_c^{-}{\overrightarrow{y}}_2+z_c^{-}{\overrightarrow{z}}_2$, $\overrightarrow{OA}=H\overrightarrow{z}$.

Q1. Exprimer ${\overrightarrow{V}}_{M^{+},2/0}$ en fonction de $\Omega$, $L$ et $y_c^{+}$.
Q2. Donner les composantes de ${\overrightarrow{\Gamma }}_{M^{+},2/0}$ sur ${\overrightarrow{x}}_2$, ${\overrightarrow{y}}_2$, ${\overrightarrow{z}}_2$ en fonction de $\Omega$, $\dot{\Omega }$, $L$, $y_c^{+}$.
Q3. En régime permanent, exprimer l'accélération ${\Gamma }_{M^{+}}$ vue par le capteur.
Q4. Exprimer la vitesse ${\Omega }_{\max }$ donnant $|{\Gamma }_{M^{+}}|={\Gamma }_{\max }$ ; application numérique en $\mathrm{rad}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$ et en $\mathrm{tr}\cdot \mathrm{mi}{\mathrm{n}}^{-1}$.