Corrigé Banque PT 2026 Sciences industrielles B PT — Partie I.2 (Q5 à Q13) : Inertie équivalente, frottement de l'air, montée en régime et choix du moteur couple

Sujet officiel du concours Banque PT, session 2026, épreuve Sciences industrielles B PT. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Sujet officiel (PDF, site du concours)

Énoncé

Moteur couple en prise directe ; exigence 1.4.3.1 : $95%$ de la vitesse maximale en moins de $50 s$ .

Inertie (figure 8). Chaque bras, de masse $m_{b}$ , est réparti uniformément sur sa longueur $L$ : $J_{b} = 2 \int_{0}^{L} \frac{m _{b}}{L} x^{2} d x$ . Chaque étuve équipée (masse $m_{e} + m_{c}$ ) est ponctuelle, à la distance $L$ de l'axe ( $J_{e}$ pour les deux). Rotor : $J_{r}$ .

Figure 8 — Modèle pour l'inertie équivalente ramenée à l'axe moteur.

Frottement de l'air. Sur l'étuve $(e^{+})$ , en $H^{+}$ ( $A H^{+} = L x_{2}$ ) : $F_{a \to e^{+}} = ε_{e} \frac{1}{2} ρ_{a} S_{e} C_{x, e} V_{H^{+}, 2^{+} /0}^{2} y_{2}$ et $F_{a \to e^{-}} = - ε_{e} \frac{1}{2} ρ_{a} S_{e} C_{x, e} V_{H^{-}, 2^{-} /0}^{2} y_{2}$ , avec $ε_{e} = \pm 1$ . Sur un tronçon de bras de longueur $d x$ et de hauteur $H_{b}$ centré en $K$ : $d F_{a \to 2^{\pm}} = \pm ε_{e} \frac{1}{2} ρ_{a} (H_{b} d x) C_{x, b} V_{K, 2^{\pm} /0}^{2} y_{2}$ . Le moteur exerce $C_{m} z$ , indépendant de $Ω$ . L'équation du mouvement est de la forme $Ω ˙ + A Ω^{2} = B$ , de solution $Ω (t) = α tanh (β t)$ (on rappelle $tanh^{'} = 1/ cosh^{2}$ et $cosh^{2} - sinh^{2} = 1$ ).

$C_{m}$ ( $N \cdot m$ )	$Ω_{\infty}$ ( $rad \cdot s^{- 1}$ )	$t_{95%}$ (s)	$C_{m}$ ( $N \cdot m$ )	$Ω_{\infty}$ ( $rad \cdot s^{- 1}$ )	$t_{95%}$ (s)
25	7,59	216,11	400	30,38	54,03
100	15,19	108,06	425	31,31	52,42
200	21,48	76,41	450	32,22	50,94
300	26,31	62,39	475	33,10	49,58
350	28,42	57,76	500	33,96	48,32
375	29,41	55,80	625	37,97	43,22

Extrait de l'annexe D (simulation).

Figure 11 — Moteur TKH type : couples (traits pleins), puissances (tirets, à droite).

$C_{S 1}$ : couple continu ; $C_{S 6}$ : couple intermittent ( $24 s$ de charge sur $60 s$ ) ; au-delà de $N_{l im}$ , le couple chute.

Référence	$C_{S 1}$	$C_{S 6}$	$N_{l im, S 1}$	$N_{l im, S 6}$
	( $N \cdot m$ )	( $N \cdot m$ )	( $tr \cdot mi n^{- 1}$ )	( $tr \cdot mi n^{- 1}$ )
TKH 295-100-26	510	748	186	130
TKH 295-150-13	790	1140	405	345
TKH 295-150-26	790	1140	178	138
TKH 365-100-10	1000	1460	510	390
TKH 365-100-20	1000	1470	240	195
TKH 365-150-15	1570	2275	330	255
TKH 445-100-12	1550	2270	405	315
TKH 445-100-25	1550	2270	190	145
TKH 445-150-19	2400	3516	260	200

Annexe E.

Q5. Exprimer $J_{b}$ ( $m_{b}$ , $L$ ), $J_{e}$ ( $m_{e}$ , $m_{c}$ , $L$ ) et l'inertie équivalente totale $J_{e q}$ .
Q6. Donner et justifier la valeur de $ε_{e}$ pour $Ω > 0$ .
Q7. Exprimer $V_{K, 2/0}$ pour $A K = x x_{2}$ .
Q8. Pour $Ω > 0$ , exprimer le moment $M_{A, a \to e^{+}}$ en $A$ de $F_{a \to e^{+}}$ .
Q9. Exprimer $d M_{A, a \to 2^{+}}$ , puis le moment total $M_{A, a \to 2^{+}}$ sur le bras $(2^{+})$ .
Q10. En déduire le couple aérodynamique total $C_{a er o}$ selon $z$ .
Q11. Exprimer $A$ et $B$ ; l'équation est-elle linéaire ?
Q12. Exprimer $α$ et $β$ en fonction de $A$ et $B$ , et la limite de $Ω (t)$ .
Q13. Critères de choix du moteur ; références adaptées (exigences 1.1.1.0, 1.4.3.1).

Corrigé

Q5. Bras. Une tranche $d x$ du bras, de masse $\frac{m _{b}}{L} d x$ , est à la distance $x$ de l'axe ; pour les deux bras :

$J_{b} = 2 \int_{0}^{L} \frac{m _{b}}{L} x^{2} d x = 2 \frac{m _{b}}{L} \frac{L ^{3}}{3} ⟹ J_{b} = \frac{2}{3} m_{b} L^{2}$

(chaque bras est une tige homogène tournant autour d'une de ses extrémités, $\frac{1}{3} m_{b} L^{2}$ ).

Étuves. Deux masses ponctuelles $m_{e} + m_{c}$ à la distance $L$ : $J_{e} = 2 (m_{e} + m_{c}) L^{2}$

Total. Le moteur est en prise directe (pas de réducteur), toutes les pièces tournent à la même vitesse $Ω$ : les inerties par rapport à l'axe $(A, z)$ s'ajoutent,

$J_{e q} = J_{r} + \frac{2}{3} m_{b} L^{2} + 2 (m_{e} + m_{c}) L^{2}$

Q6. La vitesse de $H^{+}$ est $V_{H^{+}, 2^{+} /0} = L Ω y_{2}$ (Q1 avec $y_{c}^{+} = 0$ ) : pour $Ω > 0$ elle est dirigée selon $+ y_{2}$ . La traînée aérodynamique est une action résistante, opposée à la vitesse de l'étuve par rapport à l'air (supposé immobile dans le référentiel du sol), donc dirigée selon $- y_{2}$ . Comme $\frac{1}{2} ρ_{a} S_{e} C_{x, e} V^{2} > 0$ , il faut

$ε_{e} = - 1 (Ω > 0)$

Pour l'étuve $(e^{-})$ , la vitesse de $H^{-}$ vaut $- L Ω y_{2}$ ; l'effort $- ε_{e} (\dots) y_{2} = + (\dots) y_{2}$ lui est bien opposé.

Q7. Même calcul qu'en Q1 avec $A K = x x_{2}$ ( $x$ fixé, $A$ fixe) :

$V_{K, 2/0} = Ω z \land x x_{2} = x Ω y_{2} V_{K, 2/0}^{2} = x^{2} Ω^{2} .$

Q8. Avec $ε_{e} = - 1$ et $V_{H^{+}, 2^{+} /0}^{2} = L^{2} Ω^{2}$ : $F_{a \to e^{+}} = - \frac{1}{2} ρ_{a} S_{e} C_{x, e} L^{2} Ω^{2} y_{2}$ . Son moment en $A$ est

$M_{A, a \to e^{+}} = A H^{+} \land F_{a \to e^{+}} = L x_{2} \land (- \frac{1}{2} ρ_{a} S_{e} C_{x, e} L^{2} Ω^{2} y_{2}),$

$M_{A, a \to e^{+}} = - \frac{1}{2} ρ_{a} S_{e} C_{x, e} L^{3} Ω^{2} z$

Il est bien résistant (de signe opposé à $Ω$ ).

Q9. Pour le tronçon centré en $K$ ( $A K = x x_{2}$ ), avec Q6 et Q7 : $d F_{a \to 2^{+}} = - \frac{1}{2} ρ_{a} H_{b} C_{x, b} x^{2} Ω^{2} d x y_{2}$ , donc

$d M_{A, a \to 2^{+}} = x x_{2} \land d F_{a \to 2^{+}} = - \frac{1}{2} ρ_{a} H_{b} C_{x, b} Ω^{2} x^{3} d x z$

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