Corrigé Banque PT 2026 Sciences industrielles B PT — Partie II.1 (Q14 à Q19) : Détection d'un défaut de chargement : statique du châssis et choix du capteur d'effort

Sujet officiel du concours Banque PT, session 2026, épreuve Sciences industrielles B PT. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Sujet officiel (PDF, site du concours)

Énoncé

Pour détecter un chargement non symétrique, on fait tourner le bras très lentement (étude statique) et on mesure l'effort vertical du sol sur l'un des trois pieds. Le châssis (1) est lié au sol (0) en $P_{1}$ , $P_{2}$ , $P_{3}$ , à la distance $R_{P}$ de l'axe :

$O P_{1} = R_{P} x - h z, O P_{2} = - \frac{1}{2} R_{P} x + \frac{3}{2} R_{P} y - h z,$

$O P_{3} = - \frac{1}{2} R_{P} x - \frac{3}{2} R_{P} y - h z,$

par une ponctuelle de normale $(P_{1}, z)$ , une rotule de centre $P_{2}$ et une sphère-cylindre d'axe $(P_{3}, y)$ . Le bras tourne dans le plan $(A, x, y)$ , $O A = H z$ . La centrifugeuse vide, de masse $M_{t o t}$ , a son centre de gravité sur $(O, z)$ . Les chargements sont deux masses ponctuelles : $m_{c}^{+}$ en $M^{+}$ , $O M^{+} = L x_{2} + y_{c}^{+} y_{2} + (H + z_{c}^{+}) z$ , et $m_{c}^{-}$ en $M^{-}$ , $O M^{-} = - L x_{2} + y_{c}^{-} y_{2} + (H + z_{c}^{-}) z$ . Torseur transmissible en $P$ , dans $B = (x, y, z)$ : résultante $(X_{P}, Y_{P}, Z_{P})$ , moment $(L_{P}, M_{P}, N_{P})$ .

Figure 10 — Liaison châssis (1)–sol (0) : ponctuelle en $P_{1}$ , rotule en $P_{2}$ , sphère-cylindre d'axe $(P_{3}, y)$ .

Référence	Charge max.	Fixation	Flèche sous	Fréquence
	(N)		charge (mm)	propre (Hz)
FSH04169	2235	M16x2	$2, 5 \times 1 0^{- 2}$	3000
FSH04171	4450	M16x2	$5, 0 \times 1 0^{- 2}$	3000
FSH04173	8900	M16x2	$2, 5 \times 1 0^{- 2}$	6300
FSH04175	22250	M16x2	$5, 0 \times 1 0^{- 2}$	7000
FSH04177	44500	M16x2	$1, 0 \times 1 0^{- 1}$	7000

Capteurs d'effort FUTEK LCF-450 (annexe F).

Q14. Coordonnées $(x_{G}, y_{G}, z_{G})$ du centre de gravité $G_{m}$ de ${m_{c}^{+}, m_{c}^{-}}$ dans $(O, x_{2}, y_{2}, z)$ .
Q15. Forme des torseurs des trois liaisons châssis--sol.
Q16. Isolement et théorème(s) permettant d'obtenir les actions en $P_{1}$ , $P_{2}$ , $P_{3}$ .

Le calcul donne $Z_{P_{1}} = Z_{P_{1}}^{0} + A_{P_{1}} cos θ + B_{P_{1}} sin θ$ avec $Z_{P_{1}}^{0} = \frac{( m _{c}^{+} + m _{c}^{-} + M _{t o t} ) g}{3}$ , $A_{P_{1}} = \frac{2 L ( m _{c}^{+} - m _{c}^{-} ) g}{3 R _{P}}$ , $B_{P_{1}} = - \frac{2 ( m _{c}^{+} y _{c}^{+} + m _{c}^{-} y _{c}^{-} ) g}{3 R _{P}}$ . On veut détecter $Δ m = ∣ m_{c}^{+} - m_{c}^{-} ∣ = 0, 05 kg$ (exigence 1.3.2.1) ; $L = 1 m$ , $R_{P} = 0, 5 m$ , $M_{t o t} = 1500 kg$ .

Q17. Pour $y_{c}^{+} = y_{c}^{-} = 0$ , amplitude $Δ F$ de l'oscillation de l'effort mesuré ; application numérique.
Q18. Ordre de grandeur de l'effort $F^{ma x}$ supporté par le capteur ( $m_{c}^{\pm} ≪ M_{t o t}$ ) ; application numérique.
Q19. Référence(s) de capteur à retenir ; justifier.

Corrigé

Q14. Par définition du barycentre, $(m_{c}^{+} + m_{c}^{-}) O G_{m} = m_{c}^{+} O M^{+} + m_{c}^{-} O M^{-}$ . En projetant sur $x_{2}$ , $y_{2}$ , $z$ :

$x_{G} = \frac{L ( m _{c}^{+} - m _{c}^{-} )}{m _{c}^{+} + m _{c}^{-}}, y_{G} = \frac{m _{c}^{+} y _{c}^{+} + m _{c}^{-} y _{c}^{-}}{m _{c}^{+} + m _{c}^{-}}, z_{G} = H + \frac{m _{c}^{+} z _{c}^{+} + m _{c}^{-} z _{c}^{-}}{m _{c}^{+} + m _{c}^{-}}$

Le chargement est équilibré statiquement (centre de gravité sur l'axe) si et seulement si $x_{G} = y_{G} = 0$ , c'est-à-dire $m_{c}^{+} = m_{c}^{-}$ et $m_{c}^{+} y_{c}^{+} + m_{c}^{-} y_{c}^{-} = 0$ . La cote $z_{G}$ n'intervient pas dans l'équilibrage statique.

Q15. On écrit chaque torseur en son centre de liaison, dans $B$ ; une composante est nulle lorsque le mouvement correspondant est libre (liaisons parfaites).

Ponctuelle de normale $(P_{1}, z)$ : seule la translation selon $z$ est bloquée.
Rotule de centre $P_{2}$ : les trois translations sont bloquées, les rotations libres.
Sphère-cylindre d'axe $(P_{3}, y)$ (linéaire annulaire) : translation selon $y$ et rotations libres, translations selon $x$ et $z$ bloquées.

${T_{(0) \to (1)}^{P_{1}}} = ⎩ ⎨ ⎧ 00 Z_{P_{1}} 000 ⎭ ⎬ ⎫_{P_{1}, B},$

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