Corrigé Banque PT 2026 Sciences industrielles B PT — Partie III (Q29 à Q40) : Allongement du bras sous effets centrifuges et thermiques, précision de l'accélération

Sujet officiel du concours Banque PT, session 2026, épreuve Sciences industrielles B PT. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Sujet officiel (PDF, site du concours)

Énoncé

III.1 — Allongement sous chargement centrifuge. Quasi-statique (forces centrifuges). Le bras $(2^{+})$ , encastré en $A$ sur l'arbre (1), est une poutre de longueur $L$ et de section $S_{b}$ , chargée par une force linéique axiale $q (x) = a x x_{2}$ et par un effort ponctuel $F x_{2}$ en $x = L$ (figure 17) ; la pesanteur est négligée. Torseurs de liaison écrits dans $B_{2} = (x_{2}, y_{2}, z_{2})$ , composantes $(X_{P}, Y_{P}, Z_{P})$ et $(L_{P}, M_{P}, N_{P})$ . Torseur de cohésion en $G (x)$ : ${T_{(P^{+}) \to (P^{-})}}$ , de composantes $(N, T_{y}, T_{z})$ et $(M_{t}, M_{f y}, M_{f z})$ ; $u (x)$ est le déplacement axial.

Figure 17 — Bras $(2^{+})$ sollicité par les efforts centrifuges.

Q29. Forme du torseur ${T_{(1) \to (2^{+})}^{A}}$ de la liaison bras--arbre en $A$ .
Q30. Système isolé et théorème(s) donnant les inconnues utiles à l'allongement.
Q31. Exprimer $X_{A}$ en fonction de $a$ , $L$ , $F$ .
Q32. Exprimer l'effort normal $N (x)$ .
Q33. Relier $N (x)$ , $u^{'} (x)$ , $E$ et $S_{b}$ .
Q34. On a $u (x) = A_{0} + A_{1} x + A_{3} x^{3}$ : préciser $u (0)$ , puis $A_{0}$ , $A_{1}$ , $A_{3}$ .
Q35. En déduire l'allongement $Δ L = u (L) - u (0)$ .

Le capteur est à la distance $L = L + Δ L (Ω)$ de l'axe ; l'accélération imposée est $Γ_{c} (L) = L Ω^{2}$ ; erreur relative $e_{Γ} = \frac{Γ _{c} ( L ) - Γ _{c} ( L )}{Γ _{c} ( L )}$ . Avec $a$ et $F$ exprimés à l'aide de $ρ$ , $S_{b}$ , $Ω$ et de la masse $m_{e}^{+} + m_{c}^{+}$ de l'équipage en bout de bras : $Δ L = \frac{L ^{2} Ω ^{2}}{3 E S _{b}} (ρ S_{b} L + 3 (m_{e}^{+} + m_{c}^{+}))$ .

Q36. Exprimer $e_{Γ}$ en fonction de $L$ et $Δ L$ .
Q37. Pour $m_{e}^{+} + m_{c}^{+} \approx 0$ , exprimer $e_{Γ}^{0}$ ( $Ω$ , $L$ , $ρ$ , $E$ ) ; application numérique pour $Ω = 30 rad \cdot s^{- 1}$ ; conforme au cahier des charges ?

III.2 — Chargement thermique. Température homogène dans le bras : déformation $ε^{t h} = α^{t h} Δ T$ ; erreur $e_{Γ}^{t h} = Δ L^{t h} / L$ .

Q38. Exprimer $e_{Γ}^{t h}$ ; application numérique pour $Δ T = 1 0^{\circ} C$ .

III.3 — Conclusion.

Q39. L'exigence 1.1.1 peut-elle être respectée ? Justifier.
Q40. Quelle proposition pour améliorer la précision ?

Données : $L = 1 m$ , $E = 2, 0 \times 1 0^{11} N \cdot m^{- 2}$ , $ρ = 8000 kg \cdot m^{- 3}$ , $α^{t h} = 10 \times 1 0^{- 6} K^{- 1}$ ; exigence 1.1.1.0 : précision $10 ppm$ (erreur de $1 0^{- 3} g$ à $100 g$ ).

Corrigé

Q29. Le bras est fixé rigidement sur l'arbre (1) : la liaison en $A$ est un encastrement, qui transmet les six composantes :

${T_{(1) \to (2^{+})}^{A}} = ⎩ ⎨ ⎧ X_{A} Y_{A} Z_{A} L_{A} M_{A} N_{A} ⎭ ⎬ ⎫_{A, B_{2}}$

Q30. Système isolé : le bras $(2^{+})$ seul (avec l'équipage, dont l'action est modélisée par $F x_{2}$ ). Actions extérieures : l'encastrement en $A$ , la charge répartie $q (x)$ , l'effort $F x_{2}$ . On se place en quasi-statique (les forces centrifuges représentent les quantités d'accélération, point de vue de d'Alembert) : principe fondamental de la statique, et plus précisément le théorème de la résultante statique en projection sur $x_{2}$ , qui donne la seule inconnue utile $X_{A}$ (les autres composantes sont nulles puisque tout le chargement est porté par l'axe de la poutre).

Q31. Résultante sur $x_{2}$ :

$X_{A} + \int_{0}^{L} a x d x + F = 0 ⟹ X_{A} = - (\frac{a L ^{2}}{2} + F)$

L'arbre retient le bras vers l'axe : $X_{A} < 0$ . Ce que le correcteur attend : la charge linéique n'est pas uniforme, sa résultante est $a L^{2} /2$ et non $a L$ (erreur fréquente relevée par le jury).

Q32. Le torseur de cohésion ${T_{(P^{+}) \to (P^{-})}}$ est l'action de la partie aval $P^{+}$ ( $x^{'} > x$ ) sur la partie amont $P^{-}$ ; il est égal au torseur des actions extérieures appliquées à $P^{+}$ : la charge répartie entre $x$ et $L$ et l'effort $F$ . D'où

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