Corrigé Banque PT 2026 Sciences industrielles B PT — Partie IV (Q41 à Q51) : Flexion du bras, rotation du plateau et position de la masse de correction

Sujet officiel du concours Banque PT, session 2026, épreuve Sciences industrielles B PT. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Sujet officiel (PDF, site du concours)

Énoncé

La flexion du bras (pesanteur, effort centrifuge décalé) incline le plateau d'un petit angle $ψ$ autour de $y_{2}$ : l'axe de mesure $n = x_{2}$ devient $n^{'}$ (figure 20).

Figure 20 — Défaut d'orientation de l'axe de mesure en flexion.

Q41. Pour une accélération imposée $Γ x_{2}$ , exprimer l'accélération mesurée $Γ$ en fonction de $Γ$ et $ψ$ , puis son développement à l'ordre 2 en $ψ$ .
Q42. En déduire $(Γ - Γ) /Γ$ en fonction de $ψ$ et l'angle $ψ$ à ne pas dépasser pour $10 ppm$ .

Une masse mobile $m_{m}$ , déplaçable selon $z$ en bout de bras (annexe K), compense la rotation. Centres de gravité sur $(H^{+}, z)$ (figure 21) : $G_{m}$ , $G_{e}$ (étuve, $m_{e}$ ), $G_{c}$ (chargement, $m_{c}$ ), cotes $z_{m}$ , $z_{e}$ , $z_{c}$ . Poids du bras négligé. Actions : $- m_{i} g z$ et $m_{i} L Ω^{2} x_{2}$ en $G_{i}$ ; torseur résultant en $H^{+}$ : $(X, Y, Z)$ , $(L_{H^{+}}, M_{H^{+}}, N_{H^{+}})$ dans $(x_{2}, y_{2}, z)$ (IV.1).

Figure 21 — Centres de gravité en bout de bras (ici $z_{e} < 0$ ).

Q43. Exprimer les composantes du torseur ${T_{E x t \to B r a s}}$ (IV.1).

Poutre : $X = x_{2}$ , $Y = z_{2}$ , $Z = - y_{2}$ ; flèche $y_{i} (x)$ , rotation $ψ_{i} = y_{i}^{'}$ selon $Z$ (Bernoulli). Cohésion ${T_{(P^{+}) \to (P^{-})}}$ : $(N, T_{Y}, T_{Z})$ , $(M_{t}, M_{f Y}, M_{f Z})$ en $G$ ; moment quadratique $I_{GZ}$ .

Figures 22 et 23 — Problèmes $(P_{1})$ (moment pur $C Z$ ) et $(P_{2})$ (effort $F Y$ ).

Q44. $(P_{1})$ : composantes du torseur de cohésion en fonction de $C$ ; sollicitations.
Q45. $(P_{1})$ : relier $ψ_{1} (x)$ , $M_{f Z}$ , $E$ , $I_{GZ}$ .
Q46. Conditions aux limites utiles ; en déduire $ψ_{1} (L)$ .
Q47. $(P_{2})$ : composantes du torseur de cohésion ( $F$ , $L$ , $x$ ) ; sollicitations.
Q48. Avec $y_{2} (x) = \frac{F}{6 E I _{GZ}} x^{2} (3 L - x)$ , en déduire $ψ_{2} (x)$ et $ψ_{2} (L)$ .
Q49. Par superposition, exprimer $ψ$ en $x = L$ ; exprimer $F$ et $C$ en fonction de $Z$ et $M_{H^{+}}$ .

On admet $ψ = - \frac{L ^{2}}{E I _{GZ}} [A + B Ω^{2}]$ .

Q50. Exprimer $A$ et $B$ .
Q51. Position $z_{m}$ annulant $ψ$ ; valeur pour $z_{e} = 0$ , $z_{c} = 0, 1 m$ , $m_{e} = 100 kg$ , $m_{c} = 20 kg$ , $m_{m} = 40 kg$ , $Ω = 30 rad \cdot s^{- 1}$ ; réalisable (demi-course $h_{m} = 100 mm$ ) ?

Corrigé

Q41. Le capteur mesure la projection de l'accélération sur son axe de mesure $n^{'}$ , unitaire et incliné de $ψ$ par rapport à $x_{2}$ ( $x_{2} \cdot n^{'} = cos ψ$ ) :

$Γ = Γ x_{2} \cdot n^{'} = Γ cos ψ \approx Γ (1 - \frac{ψ ^{2}}{2})$

L'erreur est du second ordre en $ψ$ : il n'y a pas de terme linéaire, car la projection est stationnaire au voisinage de $ψ = 0$ .

Q42. D'après Q41,

$\frac{Γ - Γ}{Γ} = \frac{ψ ^{2}}{2}$

La précision de $10 ppm = 1 0^{- 5}$ impose $ψ^{2} /2 \leq 1 0^{- 5}$ , soit

$ψ = 2 \times 1 0^{- 5} \approx 4, 5 \times 1 0^{- 3} rad \approx 0, 2 6^{\circ}$

(sans calculatrice : $20 \times 1 0^{- 3} \approx 4, 47 \times 1 0^{- 3}$ ).

Q43. Résultante : somme des six forces,

$X = (m_{m} + m_{e} + m_{c}) L Ω^{2}, Y = 0, Z = - (m_{m} + m_{e} + m_{c}) g$

Moment en $H^{+}$ : pour chaque masse, $H^{+} G_{i} = z_{i} z$ et

$H^{+} G_{i} \land (m_{i} L Ω^{2} x_{2} - m_{i} g z) = z_{i} m_{i} L Ω^{2} (z \land x_{2}) = m_{i} z_{i} L Ω^{2} y_{2},$

le poids, colinéaire à $H^{+} G_{i}$ , ne donne pas de moment. D'où

$L_{H^{+}} = 0, M_{H^{+}} = L Ω^{2} (m_{m} z_{m} + m_{e} z_{e} + m_{c} z_{c}), N_{H^{+}} = 0$

Ce que le correcteur attend : les cotes sont algébriques ( $z_{e} < 0$ sur la figure 21) ; le jury signale de nombreuses erreurs de signe à cet endroit.

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