Corrigé Banque PT 2026 Sciences industrielles B PT — Partie IV (suite) (Q52 à Q56) : Chaîne moteur, réducteur, poulies et vis-écrou de la masse mobile

Sujet officiel du concours Banque PT, session 2026, épreuve Sciences industrielles B PT. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Sujet officiel (PDF, site du concours)

Énoncé

La masse mobile $m_{m} = 40 kg$ est déplacée selon $z$ (figure 19) : un moteur à courant continu ( $ω_{m o t}$ ) entraîne, à travers un réducteur de rapport $k = ω_{m o t} / ω_{m} > 1$ , la poulie motrice (rayon primitif $r_{m}$ , vitesse $ω_{m}$ par rapport au bras) ; une courroie crantée entraîne la poulie réceptrice (rayon $r_{r}$ , vitesse $ω_{r}$ ), solidaire d'une vis ; la masse, en glissière par rapport au bras, est en liaison hélicoïdale (pas $p a s$ ) avec la vis. Course totale $2 h_{m}$ ( $h_{m} = 100 mm$ ) à parcourir en $T = 20 s$ ; rendement de la transmission $η = 0, 75$ ; $p a s = 4 mm \cdot t r^{- 1}$ ; poulies identiques ( $r_{m} = r_{r}$ ) ; réducteur $k = 15, 6$ ; codeur de $N_{im p} = 1024$ impulsions par tour monté sur le moteur.

Figure 19 — Transmission : moteur et réducteur, poulies et courroie crantée, vis--écrou entraînant la masse en glissière sur le bras.

Tension	Vitesse	Vitesse	Couple	Couple de	Puissance
	à vide	nominale	nominal	démarrage
$12 V$	$4980 tr \cdot mi n^{- 1}$	$4000 tr \cdot mi n^{- 1}$	$29, 5 N \cdot mm$	$150 N \cdot mm$	$10 W$

Réduction $k$	Étages	Couple perm. max.	Jeu angulaire	Rendement max.
$15, 6$	2	$700 N \cdot mm$	$1^{\circ}$	$81%$

Moteur Maxon DCX 22 L et réducteur planétaire GPX 22 (annexe M).

Q52. Exprimer la vitesse $V$ de la masse par rapport au bras ( $r_{m}$ , $r_{r}$ , $p a s$ , $k$ , $ω_{m o t}$ ) ; exprimer la vitesse moyenne $ω_{m o t}$ permettant de parcourir $2 h_{m}$ en $T$ .
Q53. Couple moteur $c_{m o t}$ équilibrant le poids de la masse ( $r_{m}$ , $r_{r}$ , $p a s$ , $k$ , $m_{m}$ , $g$ , $η$ ) ; puissance $P_{m o t}$ en régime permanent ( $h_{m}$ , $m_{m} g$ , $T$ , $η$ ) ; application numérique.

On écrit $ω_{m o t} = X_{ω} \frac{K}{p a s}$ et $c_{m o t} = X_{c} \frac{p a s}{K}$ , avec $K = k \frac{r _{r}}{r _{m}}$ .

Q54. Valeurs de $X_{ω}$ et $X_{c}$ pour obtenir $ω_{m o t}$ en $tr \cdot mi n^{- 1}$ et $c_{m o t}$ en $N \cdot mm$ avec $p a s$ en $mm \cdot t r^{- 1}$ et $h_{m}$ en $mm$ .
Q55. Justifier que l'association moteur--réducteur--codeur proposée est adaptée.
Q56. Valeurs de $Δ z_{co d}$ (résolution du codeur) et $Δ z_{r e d}$ (jeu du réducteur) en $mm$ ; comment améliorer la précision de positionnement ?

Corrigé

Q52. Chaîne cinématique (vitesses par rapport au bras) :

réducteur : $ω_{m} = ω_{m o t} / k$ ;
courroie crantée sans glissement : même vitesse linéaire sur les deux poulies, $r_{m} ω_{m} = r_{r} ω_{r}$ , soit $ω_{r} = \frac{r _{m}}{r _{r}} ω_{m}$ ;
liaison hélicoïdale : la masse avance d'un pas par tour de vis, $V = p a s \frac{ω _{r}}{2 π}$ ( $p a s$ en $m \cdot t r^{- 1}$ , $ω_{r}$ en $rad \cdot s^{- 1}$ ).

$V = \frac{p a s}{2 π} \frac{r _{m}}{k r _{r}} ω_{m o t}$

La course $2 h_{m}$ parcourue en $T$ impose la vitesse moyenne $V = 2 h_{m} / T$ , d'où

$ω_{m o t} = \frac{2 π k r _{r}}{p a s r _{m}} \frac{2 h _{m}}{T} = \frac{4 π k r _{r} h _{m}}{p a s r _{m} T} (rad \cdot s^{- 1}) .$

Q53. Théorème de l'énergie--puissance appliqué à la chaîne en régime permanent (vitesse constante, énergie cinétique constante) : la puissance mécanique fournie par le moteur, diminuée des pertes, sert à élever la masse : $η c_{m o t} ω_{m o t} = m_{m} g V$ (cas défavorable : la masse monte ; l'effort centrifuge, selon $x_{2}$ , est perpendiculaire au déplacement et repris par la glissière, il ne travaille pas). Avec le rapport $V / ω_{m o t}$ de Q52 :

$c_{m o t} = \frac{m _{m} g}{η} \frac{V}{ω _{m o t}} = \frac{m _{m} g p a s r _{m}}{2 π η k r _{r}}$

$P_{m o t} = c_{m o t} ω_{m o t} = \frac{m _{m} g V}{η} = \frac{2 h _{m} m _{m} g}{η T}$

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