Corrigé CCINP 2025 Maths 2 MPI — Exercice 1 (Q1 à Q6) : Inégalité arithmético-géométrique, det(B)^(1/n) ≤ Tr(B)/n et inégalité de Hadamard

Sujet officiel du concours CCINP, session 2025, épreuve Maths 2 MPI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

$n \geq 1$ est un entier, $x_{1}, \dots, x_{n}$ sont des réels strictement positifs et $m = \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} x_{j}$ . On note $S_{n}^{++} (R)$ l'ensemble des matrices symétriques réelles définies positives d'ordre $n$ .

Q1. Montrer que $\sum_{k = 1}^{n} ln (\frac{x _{k}}{m}) \leq \sum_{k = 1}^{n} (\frac{x _{k}}{m} - 1)$ .
Q2. En déduire $(\prod_{k = 1}^{n} x_{k})^{1/ n} \leq \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} x_{k}$ .
Q3. Montrer qu'il y a égalité si et seulement si $x_{1} = x_{2} = \dots = x_{n}$ .
Q4. Pour $B \in S_{n}^{++} (R)$ , montrer que $(det B)^{1/ n} \leq \frac{1}{n} Tr (B)$ , avec égalité si et seulement si $B \in Vect (I_{n})$ .

Désormais $A = (a_{i, j}) \in S_{n}^{++} (R)$ .

Q5. Montrer que $a_{i, i} > 0$ pour tout $i \in [[1, n]]$ .
Q6. Avec $D = Diag (\frac{1}{a _{1, 1}}, \dots, \frac{1}{a _{n, n}})$ et $B = D A D$ , montrer que $B \in S_{n}^{++} (R)$ , puis que $det (A) \leq a_{1, 1} a_{2, 2} \dots a_{n, n}$ , avec égalité si et seulement si $A$ est diagonale.

Corrigé

Q1. Une inégalité de concavité. Posons $f (y) = y - 1 - ln y$ pour $y > 0$ . La fonction $f$ est dérivable sur $] 0, + \infty [$ , de dérivée

$f^{'} (y) = 1 - \frac{1}{y} = \frac{y - 1}{y},$

strictement négative sur $] 0, 1 [$ et strictement positive sur $] 1, + \infty [$ . Donc $f$ est strictement décroissante sur $] 0, 1]$ et strictement croissante sur $[1, + \infty [$ : elle atteint son minimum en $y = 1$ , et ce minimum vaut $f (1) = 0$ . Ainsi

$\forall y > 0, ln y \leq y - 1, avec e ˊ galit e ˊ si et seulement si y = 1,$

l'égalité n'ayant lieu qu'en $1$ par stricte monotonie de $f$ de part et d'autre de $1$ .

Comme les $x_{j}$ sont strictement positifs, $m > 0$ , donc $y_{k} = \frac{x _{k}}{m} > 0$ pour tout $k$ . En appliquant l'inégalité précédente à chaque $y_{k}$ puis en sommant ces $n$ inégalités de même sens :

$k = 1 \sum n ln (\frac{x _{k}}{m}) \leq k = 1 \sum n (\frac{x _{k}}{m} - 1) .$

Q2. Calculons le membre de droite de Q1 :

$k = 1 \sum n (\frac{x _{k}}{m} - 1) = \frac{1}{m} k = 1 \sum n x_{k} - n = \frac{nm}{m} - n = 0.$

Par Q1 et les propriétés du logarithme,

$ln (\frac{\prod _{k = 1}^{n} x _{k}}{m ^{n}}) = k = 1 \sum n ln (\frac{x _{k}}{m}) \leq 0,$

donc, l'exponentielle étant croissante, $\prod_{k = 1}^{n} x_{k} \leq m^{n}$ . Les deux membres sont strictement positifs et $t \mapsto t^{1/ n}$ est croissante sur $R_{+}$ ; d'où

$(k = 1 \prod n x_{k})^{1/ n} \leq m = \frac{1}{n} k = 1 \sum n x_{k} .$

Q3. Si les $x_{k}$ sont égaux à un même réel $c > 0$ , alors $m = c$ et $(\prod x_{k})^{1/ n} = (c^{n})^{1/ n} = c$ : il y a égalité.

100 % gratuit

La suite du corrigé est sur Adloun

Le corrigé rédigé en entier, question par question, et le tuteur pour poser des questions sur ce sujet.

Voir le corrigé complet, gratuitement

Inscription gratuite en 30 secondes (e-mail, nom d'utilisateur, mot de passe, classe ou profil), sans carte bancaire : arrivée directe sur le corrigé.

Toutes les parties de l'épreuve

Corrigé complet gratuit →