Corrigé CCINP 2025 Modélisation PC — Partie I.2 (Q13 à Q18) : pH de la solution interstitielle : électroneutralité et résolution par la méthode de Newton en Python

Notations et constantes de la partie I.1 ($K_1$, $K_2$, $K_E$, $K_p$, $K_c$ ; concentrations en $\mathrm{mol}\cdot {\mathrm{L}}^{-1}$, $c^0=1\mathrm{mol}\cdot {\mathrm{L}}^{-1}$). Électroneutralité de la solution interstitielle :

$$[{\mathrm{H}}_3{\mathrm{O}}^{+}]+2[\mathrm{C}{\mathrm{a}}^{2+}]=[\mathrm{HC}{\mathrm{O}}_3^{-}]+2[\mathrm{C}{\mathrm{O}}_3^{2-}]+[\mathrm{H}{\mathrm{O}}^{-}](1)$$

Q13. Montrer que $[\mathrm{H}{\mathrm{O}}^{-}]$ est solution de l'équation (2) :

$$f([\mathrm{H}{\mathrm{O}}^{-}])=\frac{2K_p}{[\mathrm{H}{\mathrm{O}}^{-}{]}^2}+\frac{K_E}{[\mathrm{H}{\mathrm{O}}^{-}]}-\frac{2K_c}{K_p}[\mathrm{H}{\mathrm{O}}^{-}{]}^2-\frac{K_c}{K_2{K}_p}[\mathrm{H}{\mathrm{O}}^{-}]-[\mathrm{H}{\mathrm{O}}^{-}]=0(2)$$

On résout (2) en Python par la méthode de Newton (annexe 2, figure ci-dessous) : à partir de $x_0$, $x_{i+1}=x_i-f(x_i)/f^{\prime }(x_i)$ (abscisse où la tangente en $x_i$ coupe l'axe), tant que $\left|x_{i+1}-x_i\right|$ dépasse l'erreur souhaitée. Les constantes sont supposées définies.

{Annexe 2 — Principe de la méthode de Newton}

Q14. a. Intervalle usuel des valeurs de $x=[\mathrm{H}{\mathrm{O}}^{-}]$, justifié ; valeur initiale. b. Instructions définissant pH_depart, puis OH_depart (point de départ de Newton).
Q15. a. Fonction Fonction(x) renvoyant $f(x)$. b. Expression de $f^{\prime }$. c. Fonction Derive(x) renvoyant $f^{\prime }(x)$.
Q16. Fonction Newton(g, dg, Pt, Er) (fonction, dérivée, point de départ, précision) renvoyant la solution de (2).
Q17. Instruction calculant OH_Sol, solution de (2), à l'aide de Q15 et Q16. On trouve OH_Sol = 10**(-1.6).
Q18. pH de la solution interstitielle ; espèce prédominante du diacide ${\mathrm{H}}_2\mathrm{C}{\mathrm{O}}_3$.