Corrigé CCINP 2025 Modélisation PC — Partie II.1 (Q19 à Q25) : Front de carbonatation : loi de Fick, bilan de carbone, réactions successives et équation de réaction-diffusion

Dalle exposée à l'air par sa face supérieure, posée sur un géotextile qui interdit tout échange avec le sol ; problème plan, axe $Ox$ orienté vers le bas depuis la surface (figure 3). Béton homogène ; la carbonatation ne modifie ni sa densité ni sa microstructure ; le taux de $\mathrm{C}{\mathrm{O}}_2$ de l'air est constant ; équilibre hygrométrique. Notations : $\Phi$ porosité (fraction volumique des vides), $S$ taux de saturation des pores par le liquide interstitiel ; la fraction volumique occupée par le gaz est $\Phi (1-S)$.

{Figure 3 — Schématisation du problème}

Q19. Première loi de Fick à une dimension : relier le vecteur densité de flux molaire ${\overrightarrow{ȷ}}_{\mathrm{C}{\mathrm{O}}_2}$ de $\mathrm{C}{\mathrm{O}}_{2(\mathrm{g})}$ à $[\mathrm{C}{\mathrm{O}}_{2(\mathrm{g})}]$ et au coefficient de diffusion $D_{\mathrm{C}{\mathrm{O}}_2}$.

Mécanisme simplifié, deux étapes totales (la première dans la limite de saturation $S$) :

$$\begin{array}{c}\mathrm{CO}{}_2{}_{(\mathrm{g})}+\mathrm{H}{}_2\mathrm{O}{}_{(\mathrm{l})}\to \mathrm{H}{}_2\mathrm{CO}{}_3{}_{(\mathrm{aq})}(3)\\ \mathrm{Ca}(\mathrm{OH}){}_2{}_{(\mathrm{s})}+\mathrm{H}{}_2\mathrm{CO}{}_3{}_{(\mathrm{aq})}\to \mathrm{CaCO}{}_3{}_{(\mathrm{s})}+2\mathrm{H}{}_2\mathrm{O}{}_{(\mathrm{l})}(4)\end{array}$$

Conservation de l'élément carbone, de concentration $N_C$ ($N_{\mathrm{CaC}{\mathrm{O}}_3}$ : concentration en $\mathrm{CaC}{\mathrm{O}}_{3(\mathrm{s})}$) :

$$N_C=\Phi (1-S)[\mathrm{C}{\mathrm{O}}_{2(\mathrm{g})}]+\Phi S[{\mathrm{H}}_2\mathrm{C}{\mathrm{O}}_{3(\mathrm{aq})}]+N_{\mathrm{CaC}{\mathrm{O}}_3}(5)$$

Q20. Interpréter chaque terme de (5).

Ordres apparents $1$ par rapport à $\mathrm{C}{\mathrm{O}}_{2(\mathrm{g})}$ pour (3) et à ${\mathrm{H}}_2\mathrm{C}{\mathrm{O}}_{3(\mathrm{aq})}$ pour (4) ; constantes $k_1\ll k_2$ ; concentration initiale en $\mathrm{C}{\mathrm{O}}_{2(\mathrm{g})}$ : $c_0$.

Q21. Vitesse de formation de $\mathrm{C}{\mathrm{O}}_2$ par (3) en fonction de $[\mathrm{C}{\mathrm{O}}_{2(\mathrm{g})}]$, puis de $[\mathrm{C}{\mathrm{O}}_{2(\mathrm{g})}]$ et $k_1$ ; en déduire $[\mathrm{C}{\mathrm{O}}_{2(\mathrm{g})}](t)$.
Q22. Vitesse de formation de ${\mathrm{H}}_2\mathrm{C}{\mathrm{O}}_3$ en fonction de $[{\mathrm{H}}_2\mathrm{C}{\mathrm{O}}_{3(\mathrm{aq})}]$, puis de $[{\mathrm{H}}_2\mathrm{C}{\mathrm{O}}_{3(\mathrm{aq})}]$, $[\mathrm{C}{\mathrm{O}}_{2(\mathrm{g})}]$, $k_1$, $k_2$ ; montrer que $y(t)=\frac{c_0{k}_1}{k_2-k_1}\left({\mathrm{e}}^{-k_{1}t}-{\mathrm{e}}^{-k_{2}t}\right)$ (6) en est solution.
Q23. En déduire que $[{\mathrm{H}}_2\mathrm{C}{\mathrm{O}}_{3(\mathrm{aq})}]=\alpha [\mathrm{C}{\mathrm{O}}_{2(\mathrm{g})}]$ après une durée à préciser ; exprimer $\alpha$ en fonction de $k_1$ et $k_2$.
Q24. Vitesse d'apparition de $\mathrm{CaC}{\mathrm{O}}_3$ en fonction de $N_{\mathrm{CaC}{\mathrm{O}}_3}$, puis de $[{\mathrm{H}}_2\mathrm{C}{\mathrm{O}}_{3(\mathrm{aq})}]$ et $k_2$.
Q25. Le carbone n'est transporté que par diffusion en phase gazeuse. a. Relier $\partial N_C/\partial t$ à $D_{\mathrm{C}{\mathrm{O}}_2}$ et $[\mathrm{C}{\mathrm{O}}_{2(\mathrm{g})}]$. b. Avec Q23, Q24 et Q25a, montrer que (5) conduit à

$$\Phi (1-S+\alpha S)\frac{\partial [\mathrm{C}{\mathrm{O}}_{2(\mathrm{g})}]}{\partial t}+k_2\alpha [\mathrm{C}{\mathrm{O}}_{2(\mathrm{g})}]=D_{\mathrm{C}{\mathrm{O}}_2}\frac{{\partial }^2[\mathrm{C}{\mathrm{O}}_{2(\mathrm{g})}]}{\partial x^2}(7)$$