Corrigé CCINP 2025 Physique-chimie MP — Problème I, partie I (Q1 à Q9) : Synchrotron SOLEIL : accélération des électrons, facteur de Lorentz, courant du faisceau, vide résiduel et durée de vie

Sujet officiel du concours CCINP, session 2025, épreuve Physique-chimie MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Des électrons (masse $m_{e}$ , charge $- e$ ) sont accélérés dans le Linac, puis dans le booster, avant d'être stockés dans l'anneau, d'où partent tangentiellement les lignes de lumière (figure 1, vue d'artiste du synchrotron, schématisée ci-dessous).

{ Figure 1 — Schéma de principe du synchrotron (l'original est une vue en perspective).}

Données : $c = 3, 0 \times 1 0^{8} m \cdot s^{- 1}$ ; $m_{e} = 9, 1 \times 1 0^{- 31} kg = 5, 1 \times 1 0^{2} keV / c^{2}$ ; $e = 1, 6 \times 1 0^{- 19} C$ ; $1 eV = 1, 6 \times 1 0^{- 19} J$ ; $N_{A} = 6, 0 \times 1 0^{23} mo l^{- 1}$ ; $R = 8, 3 J \cdot K^{- 1} \cdot mo l^{- 1}$ . Résultats numériques avec un seul chiffre significatif, sans calculatrice.

Électrons non relativistes, partis sans vitesse, accélérés par $E = E e_{x}$ uniforme.

Q1. Relation entre $E$ et le potentiel $V$ ; énergie potentielle de l'électron.
Q2. Tension nécessaire pour atteindre $E_{c} = 1, 0 keV$ .
Q3. Dans le Linac, $E_{c} = 100 MeV$ : montrer que l'expression classique de $E_{c}$ ne convient plus.
Q4. Avec $E_{c} = (γ - 1) m_{e} c^{2}$ , $γ = (1 - v^{2} / c^{2})^{- 1/2}$ : calculer $γ$ .

Dans l'anneau (cercle de rayon $R = 57 m$ ), $E_{c} = 2, 7 GeV$ et $v \approx c$ .

Q5. Le courant vaut $i = 0, 43 A$ : nombre $N$ d'électrons du faisceau.
Q6. Gaz résiduel ( $H X_{2}$ , $P = 6 \times 1 0^{- 13} bar$ , $T = 298 K$ ) : densité particulaire $n$ .
Sur un parcours $d x$ , les chocs font varier $N$ de $d N = - σ n N d x$ .
Q7. Justifier le nom de « section efficace » donné à $σ$ .
Q8. Durée de vie $τ$ : durée au bout de laquelle $N$ a diminué de $37%$ . L'exprimer en fonction de $σ$ , $n$ , $c$ .
Q9. Calculer $τ$ pour $σ = 2, 0 \times 1 0^{- 23} c m^{2}$ ( $ln 0, 63 = - 0, 46$ ). Comment l'intensité du faisceau peut-elle rester constante ?

Corrigé

Q1. En régime stationnaire, le champ électrostatique dérive du potentiel :

$E = - grad V .$

L'électron subit la force de Coulomb $F = - e E = e grad V = - grad (- e V)$ . Une force qui s'écrit $F = - grad E_{p}$ dérive de l'énergie potentielle $E_{p}$ ; donc, à une constante près,

$E_{p} = - e V .$

Ce que le correcteur attend : le signe. L'énergie potentielle d'une charge $q$ est $q V$ ; pour l'électron, $q = - e$ . Il fallait le montrer à partir de la force, pas le parachuter.

Q2. Système : l'électron, dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen. Il n'est soumis qu'à la force électrique, conservative (son poids, de l'ordre de $1 0^{- 29} N$ , est négligeable). Son énergie mécanique se conserve entre le départ (vitesse nulle, potentiel $V_{i}$ ) et l'arrivée (potentiel $V_{f}$ ) :

$0 - e V_{i} = E_{c} - e V_{f} ⟹ U = V_{f} - V_{i} = \frac{E _{c}}{e} .$

Avec $E_{c} = 1, 0 keV = 1, 0 \times 1 0^{3} \times e J$ :

$U = 1 \times 1 0^{3} V = 1 kV .$

L'électron, de charge négative, est accéléré vers les potentiels croissants : il faut $V_{f} > V_{i}$ (il remonte les lignes de champ, $E$ pointant vers les $V$ décroissants).

Q3. En mécanique classique, $E_{c} = \frac{1}{2} m_{e} v^{2}$ , d'où $v = 2 E_{c} / m_{e}$ . Avec $E_{c} = 100 MeV = 1 0^{8} \times 1, 6 \times 1 0^{- 19} = 1, 6 \times 1 0^{- 11} J$ :

$v = \frac{2 \times 1 , 6 \times 1 0 ^{- 11}}{9 , 1 \times 1 0 ^{- 31}} \approx 3, 5 \times 1 0^{19} \approx 6 \times 1 0^{9} m \cdot s^{- 1} > c .$

Une vitesse supérieure à celle de la lumière est impossible : le modèle classique ne s'applique plus. Le critère est d'ailleurs visible sans calcul : $E_{c} = 100 MeV$ est près de deux cents fois l'énergie de masse $m_{e} c^{2} = 0, 51 MeV$ ; la mécanique newtonienne suppose $E_{c} ≪ m_{e} c^{2}$ .

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