Corrigé CCINP 2025 Physique-chimie MP — Problème I, partie IV (Q24 à Q26) : Directivité du rayonnement synchrotron : composition galiléenne puis relativiste des vitesses

Modèle particulaire : un électron se déplace à la vitesse $\overrightarrow{v}=v{\overrightarrow{e}}_x$ par rapport à un référentiel ${\mathcal{R}}^{\prime }$. Dans le référentiel $\mathcal{R}$ lié à l'électron, celui-ci émet des particules de manière isotrope dans le plan $xOy$, avec la vitesse ${\overrightarrow{v}}_p$ de norme $v_p$ faisant l'angle $\theta$ avec $Ox$ (figure 4) ; la moitié est émise dans le demi-espace $x>0$.

{ Figure 4 — Particules émises par l'électron, dans le référentiel $\mathcal{R}$.}

Q24. Avec la composition galiléenne des vitesses, exprimer et représenter la vitesse ${\overrightarrow{v}}_p{}^{\prime }$ (par rapport à ${\mathcal{R}}^{\prime }$) d'une particule émise dans $\mathcal{R}$ avec $\theta =\pi /2$ ; angle ${\theta }^{\prime }$ de ${\overrightarrow{v}}_p{}^{\prime }$ avec $Ox$ en fonction de $v$ et $v_p$ ; proportion des particules émises dans le cône de demi-angle ${\theta }^{\prime }$ par rapport à ${\mathcal{R}}^{\prime }$.
Q25. Pourquoi ce calcul ne peut-il être exact pour des photons ?

Composition relativiste (composantes parallèle et perpendiculaire à $\overrightarrow{v}$, $\gamma =(1-v^2/c^2{)}^{-1/2}$) :

$$v_{p\parallel }^{\prime }=\frac{v_{p\parallel }+v}{1+\frac{v{v}_{p\parallel }}{c^2}},v_{p\perp }^{\prime }=\frac{v_{p\perp }}{\gamma \left(1+\frac{v{v}_{p\parallel }}{c^2}\right)}.$$

Q26. En déduire que, pour un électron ultrarelativiste, la moitié du rayonnement est émise dans un cône de demi-angle ${\theta }^{\prime }\approx 1/\gamma$. Calculer ${\theta }^{\prime }$ pour $\gamma =5,0\times 10^4$ ; conclure.