Corrigé CCINP 2025 Physique-chimie MP — Problème II, première partie (Q31 à Q36) : Batterie au plomb : isotopes et cristal du plomb, électrolyte sulfurique, solubilité du sulfate de plomb

Sujet officiel du concours CCINP, session 2025, épreuve Physique-chimie MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Le problème étudie la batterie au plomb des voitures (figure 7 : photographie d'une batterie commerciale portant l'étiquette « $12 V$ , $40 A \cdot h$ »). Résultats numériques avec un seul chiffre significatif.

Plomb	$M (Pb) = 207, 2 g \cdot mo l^{- 1}$
$H X_{2} SO X_{4}$ pur liquide	$ρ (H X_{2} SO X_{4}) = 1, 8 \times 1 0^{3} kg \cdot m^{- 3}$
Eau pure liquide	$ρ (H X_{2} O) = 1, 0 \times 1 0^{3} kg \cdot m^{- 3}$
Masses molaires	$M (H X_{2} SO X_{4}) = 98 g \cdot mo l^{- 1}$ ; $M (H X_{2} O) = 18 g \cdot mo l^{- 1}$
Constante d'Avogadro	$N_{A} = 6, 0 \times 1 0^{23} mo l^{- 1}$
Constante de Faraday	$F = e N_{A} = 96500 C \cdot mo l^{- 1}$

Q31. Composition de l'atome $X_{82}^{207} X_{282}^{2207} Pb$ .
Q32. Les isotopes stables $X_{204} X_{2}^{2204} Pb$ , $X_{206} X_{2}^{2206} Pb$ , $X_{207} X_{2}^{2207} Pb$ , $X_{208} X_{2}^{2208} Pb$ sont présents à $x %$ , $y %$ , $22%$ et $52%$ . Définir le mot isotope ; équations permettant de calculer $x$ et $y$ (sans les résoudre).
Q33. Le plomb cristallise dans le système cubique à faces centrées, de paramètre $a = 5, 0 \times 1 0^{2} pm$ : schéma de la maille conventionnelle, masse volumique du plomb.

L'électrolyte est une solution aqueuse concentrée d'acide sulfurique, à $33%$ en masse de $H X_{2} SO X_{4}$ , en présence de sulfate de plomb solide.

Q34. Montrer que sa concentration est $C = 4 mol \cdot L^{- 1}$ .
Q35. $H X_{2} SO X_{4}$ étant considéré comme un diacide fort pour ses deux acidités, et l'activité d'un soluté assimilée à sa concentration en $mol \cdot L^{- 1}$ , estimer le pH de cette solution ; commenter ( $lo g 2 = 0, 3$ ).
Q36. Avec $K_{s} (PbSO X_{4}) = 1, 6 \times 1 0^{- 8}$ , concentration en ions $Pb X^{2 +}$ à partir de laquelle le solide apparaît dans cette solution ; forme prépondérante du plomb(II) au-delà.

Corrigé

Q31. Le numéro atomique est $Z = 82$ et le nombre de masse $A = 207$ . Le noyau contient $Z = 82$ protons et $A - Z = 125$ neutrons ; l'atome, électriquement neutre, compte $82$ électrons.

Q32. Des isotopes sont des atomes (ou nucléides) d'un même élément, donc de même numéro atomique $Z$ (même nombre de protons), qui diffèrent par leur nombre de neutrons, donc par leur nombre de masse $A$ . Ils ont les mêmes propriétés chimiques.

La somme des abondances vaut $100%$ :

$x + y + 22 + 52 = 100.$

La masse molaire moyenne est la moyenne des masses molaires des isotopes, pondérée par leurs abondances. La masse molaire d'un isotope vaut, en $g \cdot mo l^{- 1}$ , son nombre de masse $A$ à mieux que $0, 1%$ près (la masse d'un nucléon est voisine de $1 g \cdot mo l^{- 1}$ ; on néglige les électrons et l'énergie de liaison) :

$\frac{204 x + 206 y + 207 \times 22 + 208 \times 52}{100} = 207, 2.$

Ces deux équations linéaires déterminent $x$ et $y$ . Ce que le correcteur attend : savoir que la masse molaire d'un isotope vaut à peu près $A g \cdot mo l^{- 1}$ .

Q33. Dans la maille conventionnelle cubique à faces centrées, les atomes occupent les huit sommets du cube et les centres des six faces.

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