Corrigé CCINP 2025 Physique-chimie MPI — Problème I, partie I (Q1 à Q5) : Synchrotron SOLEIL : accélération électrostatique, électrons relativistes, nombre d'électrons du faisceau

Des électrons (masse $m_e$, charge $-e$) sont accélérés dans le Linac, puis dans le booster, avant d'être stockés dans l'anneau, d'où partent tangentiellement les lignes de lumière (figure 1, vue d'artiste du synchrotron, schématisée ci-dessous).

{ Figure 1 — Schéma de principe du synchrotron (l'original est une vue en perspective, qui situe aussi un aimant de courbure, un onduleur et un quadrupôle sur l'anneau).}

Données : $c=3,0\times 10^8\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$ ; $m_e=9,1\times 10^{-31}\mathrm{kg}=5,1\times 10^2\mathrm{keV}/c^2$ ; $e=1,6\times 10^{-19}\mathrm{C}$ ; $1\mathrm{eV}=1,6\times 10^{-19}\mathrm{J}$ ; $h=6,6\times 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$ ; $N_A=6,0\times 10^{23}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}$. Résultats numériques avec un seul chiffre significatif, sans calculatrice.

Électrons non relativistes, partis sans vitesse, accélérés par $\overrightarrow{E}=E{\overrightarrow{e}}_x$ uniforme.

Q1. Relation entre $\overrightarrow{E}$ et le potentiel $V$ ; énergie potentielle de l'électron.
Q2. Tension nécessaire pour atteindre $E_{\mathrm{c}}=1,0\mathrm{keV}$.
Q3. Dans le Linac, $E_{\mathrm{c}}=100\mathrm{MeV}$ : montrer que l'expression classique de $E_{\mathrm{c}}$ ne convient plus.
Q4. Avec $E_{\mathrm{c}}=(\gamma -1)m_e{c}^2$, $\gamma =(1-v^2/c^2{)}^{-1/2}$ : calculer $\gamma$.

Dans l'anneau (cercle de rayon $R=57\mathrm{m}$), $E_{\mathrm{c}}=2,7\mathrm{GeV}$ et $v\approx c$.

Q5. Le courant vaut $i=0,43\mathrm{A}$ : exprimer et calculer le nombre $N$ d'électrons du faisceau.