Corrigé CCINP 2025 Physique-chimie MPI — Problème I, partie II (Q6 à Q12) : Éléments magnétiques : déviation par un dipôle, focalisation par un quadrupôle

Sujet officiel du concours CCINP, session 2025, épreuve Physique-chimie MPI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

L'anneau de stockage comporte des portions rectilignes et des éléments magnétiques (dipôles, quadrupôles, sextupôles). Base cartésienne $(O, e_{x}, e_{y}, e_{z})$ .

Q6. Comment mesurer un champ magnétique au laboratoire ?

Un dipôle (aimant de courbure) crée un champ uniforme et stationnaire $B = B_{0} e_{y}$ , $B_{0} > 0$ .

Q7. Un électron non relativiste entre avec la vitesse $v = v_{0} e_{z}$ ( $v_{0} > 0$ ) dans ce champ. En admettant que sa trajectoire est un cercle de rayon $R_{B}$ , montrer que $B_{0} = p / (e R_{B})$ (relation (1), $p$ norme de la quantité de mouvement) ; pulsation $ω_{B}$ du mouvement.
Q8. La relation (1) reste valable en relativité, avec $p \approx E_{c} / c$ . Champ nécessaire pour $R_{B} = 5, 4 m$ et $E_{c} = 2, 7 GeV$ .

Pour refocaliser le faisceau, on utilise des quadrupôles : quatre bobines identiques, parcourues par le même courant $I$ , d'axes à $4 5^{\circ}$ des axes $O x$ et $O y$ (figure 2b ; la figure 2a est une photographie de l'appareil). Les électrons se déplacent selon $O z$ , perpendiculaire au plan de la figure.

{ Figure 2b — Quadrupôle : en pointillés, les axes des bobines ; les flèches donnent le sens du courant sur la face des bobines tournée vers le lecteur.}

Q9. Pourquoi le champ en un point du plan $x O y$ est-il contenu dans ce plan ? Direction et sens du champ au voisinage de $O$ sur l'axe $O x$ , puis sur l'axe $O y$ ; valeur du champ en $O$ .

Au voisinage de $O$ , on admet $B = (K y + K^{'}) e_{x} + (K x + K^{'}) e_{y}$ , $K$ et $K^{'}$ constantes.

Q10. Rappeler les deux équations locales du champ magnétique en régime stationnaire, vérifier que ce champ y satisfait ; valeur de $K^{'}$ .
Q11. $K > 0$ , faisceau de vitesse $v_{0} e_{z}$ d'extension $Δ y$ autour de $O$ : schéma du champ et de la force sur un électron en $A (0, Δ y /2, 0)$ et $B (0, - Δ y /2, 0)$ ; montrer que le faisceau est refocalisé.
Q12. Montrer qu'un faisceau d'extension $Δ x$ est défocalisé. Comment disposer deux quadrupôles successifs pour y remédier ?

Corrigé

Q6. On mesure un champ magnétique avec un teslamètre : sa sonde, placée au point étudié, délivre une tension proportionnelle à la composante du champ perpendiculaire à sa plaquette sensible ; on oriente la sonde pour obtenir l'indication maximale, ce qui donne la direction et la norme du champ. (Le principe de la sonde, l'effet Hall dans un semi-conducteur, est hors programme en MPI. Autres méthodes : une bobine exploratrice reliée à un fluxmètre, qui mesure le flux par induction ; une boussole donne la seule direction d'un champ faible.) Ce que le correcteur attend : un appareil de mesure cité, pas un calcul du champ.

Q7. Système : l'électron, de masse $m_{e}$ et de charge $- e$ , dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen. Il est soumis à la force de Lorentz magnétique $F = - e v \land B$ (poids négligeable). Principe fondamental de la dynamique :

$m_{e} \frac{d v}{d t} = - e v \land B .$

La norme de la vitesse est constante : la puissance de la force magnétique est nulle, $F \cdot v = 0$ , et le théorème de l'énergie cinétique donne $d E_{c} / d t = 0$ , donc $v = v_{0}$ . Le mouvement est plan : la composante selon $e_{y}$ du principe fondamental donne $m_{e} d v_{y} / d t = 0$ , et $v_{y} (0) = 0$ , donc le mouvement a lieu dans le plan perpendiculaire à $B$ passant par le point d'entrée.

La trajectoire étant (admise) un cercle de rayon $R_{B}$ , parcouru à vitesse constante $v_{0}$ , l'accélération est centripète, de norme $v_{0}^{2} / R_{B}$ ; la force, perpendiculaire à $v$ , a pour norme $e v_{0} B_{0}$ (car $v ⊥ B$ ). En projection sur la normale :

$m_{e} \frac{v _{0}^{2}}{R _{B}} = e v_{0} B_{0} ⟹ B_{0} = \frac{m _{e} v _{0}}{e R _{B}} = \frac{p}{e R _{B}} . (1)$

La pulsation du mouvement circulaire uniforme est

$ω_{B} = \frac{v _{0}}{R _{B}} = \frac{e B _{0}}{m _{e}},$

indépendante de la vitesse (pulsation cyclotron). À l'entrée, $F = - e v_{0} B_{0} e_{z} \land e_{y} = e v_{0} B_{0} e_{x}$ : la trajectoire s'incurve vers les $x$ positifs.

Q8. Avec $p \approx E_{c} / c$ dans (1) :

$B_{0} = \frac{E _{c}}{e c R _{B}} .$

L'énergie étant donnée en électronvolts, $E_{c} / e = 2, 7 \times 1 0^{9} V$ et

$B_{0} = \frac{2 , 7 \times 1 0 ^{9}}{3 , 0 \times 1 0 ^{8} \times 5 , 4} = \frac{2 , 7 \times 1 0 ^{9}}{1 , 6 \times 1 0 ^{9}} \approx 2 T$

( $1, 7 T$ avant arrondi). C'est un champ intense, plus de trente mille fois le champ terrestre, de l'ordre de ce que fournit un électroaimant à noyau de fer : il est réaliste (les dipôles de SOLEIL produisent $1, 7 T$ ).

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