Corrigé CCINP 2025 Physique-chimie MPI — Problème I, partie III (Q13 à Q19) : Rayonnement dipolaire électrique et rayonnement synchrotron : structure, Poynting, anisotropie

Sujet officiel du concours CCINP, session 2025, épreuve Physique-chimie MPI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Q13. Le rayonnement synchrotron est anisotrope et polarisé : définir ces deux mots.

Modèle simple : une charge $+ e$ fixe en $O$ et un électron (charge $- e$ ) en $P$ , avec $O P (t) = l cos (ω t) e_{z}$ ( $l$ , $ω$ constantes positives). On observe en $M$ , à la distance $r = O M ≫ l$ , repéré par ses coordonnées sphériques $(r, θ, φ)$ (figure 3).

{ Figure 3 — Coordonnées sphériques d'axe $O z$ .}

Q14. Justifier que $E_{φ}$ , $B_{r}$ , $B_{θ}$ sont nuls, puis que les composantes non nulles ne dépendent pas de $φ$ .
Q15. Accélération $a$ de l'électron ; définir le moment dipolaire $p$ de la distribution ; son amplitude $p_{0}$ en fonction de $e$ , $ω$ et $a$ .

Dans la zone de rayonnement, on admet

$E = - \frac{μ _{0} p _{0} ω ^{2} sin θ}{4 π r} cos (ω (t - \frac{r}{c})) e_{θ}, B = - \frac{μ _{0} p _{0} ω ^{2} sin θ}{4 π r c} cos (ω (t - \frac{r}{c})) e_{φ} .$

Q16. Définir la zone de rayonnement ; justifier le terme $r / c$ .
Q17. Montrer que l'onde a localement la structure d'une onde plane ; sa polarisation ; homogénéité des champs.
Q18. Définir et exprimer le vecteur de Poynting ; direction où la puissance surfacique est maximale ; norme de sa valeur moyenne dans cette direction.

Pour un électron relativiste sur une trajectoire circulaire (vitesse $v$ , accélération de norme $a$ ), dans la direction $O M = r e_{r}$ faisant l'angle $θ$ avec $v$ :

$⟨ Π_{relat} ⟩ \approx \frac{e ^{2} a ^{2}}{32 π ^{2} ε _{0} c ^{3} r ^{2}} \frac{1}{( 1 - \frac{v}{c} cos θ ) ^{4}} e_{r} .$

Q19. Direction où cette puissance surfacique moyenne est maximale ; comparer qualitativement sa valeur maximale à celle du rayonnement dipolaire ; commenter.

Corrigé

Q13. Anisotrope : les propriétés du rayonnement, ici la puissance émise par unité de surface (ou d'angle solide), dépendent de la direction d'observation ; une source isotrope rayonnerait également dans toutes les directions. Polarisé : le champ électrique de l'onde évolue de manière déterminée et non aléatoire dans le plan perpendiculaire à la direction de propagation ; par exemple, en polarisation rectiligne, il garde une direction fixe. La lumière naturelle (d'une lampe, du Soleil) n'est pas polarisée : la direction de son champ électrique varie aléatoirement.

Q14. Les deux charges sont sur l'axe $O z$ , et l'électron s'y déplace : tout plan contenant l'axe $O z$ est un plan de symétrie de la distribution de charges et de courants. Pour un point $M$ , le plan $(O, e_{r}, e_{θ})$ contenant $O z$ et $M$ en est un. Le champ électrique (vecteur polaire) est contenu dans ce plan, donc $E_{φ} = 0$ ; le champ magnétique (vecteur axial) lui est perpendiculaire, donc porté par $e_{φ}$ : $B_{r} = B_{θ} = 0$ . Par ailleurs, la distribution est invariante par toute rotation autour de $O z$ : les composantes non nulles ne dépendent pas de $φ$ , mais seulement de $r$ , $θ$ et $t$ .

Q15. L'accélération de l'électron s'obtient en dérivant deux fois sa position :

$a = \frac{d ^{2} O P}{d t ^{2}} = - l ω^{2} cos (ω t) e_{z} .$

Le moment dipolaire d'une distribution de charges ponctuelles est $p = \sum_{i} q_{i} O P_{i}$ ; ici la charge $+ e$ est en $O$ , donc

$p (t) = - e O P (t) = - e l cos (ω t) e_{z},$

dirigé de la charge négative vers la charge positive. Son amplitude est $p_{0} = e l$ . L'amplitude de l'accélération étant $a = l ω^{2}$ ,

$p_{0} = \frac{e a}{ω ^{2}} .$

Deux remarques. L'énoncé appelle $a$ la norme de $a$ , qui dépend du temps ; il faut lire « amplitude de l'accélération » (le jury l'a reconnu). D'autre part, les champs admis sont ceux d'un moment $p_{0} cos (ω t) e_{z}$ ; le nôtre vaut $- p_{0} cos (ω t) e_{z}$ , ce qui change le signe des deux champs (ou décale l'origine des temps d'une demi-période) sans rien changer à la suite. Ce que le correcteur attend : le signe du moment dipolaire, qui pointe de $- e$ vers $+ e$ .

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