Corrigé CCINP 2025 Physique-chimie MPI — Problème I, partie IV (Q20 à Q25) : Directivité du rayonnement synchrotron : composition des vitesses, durée du signal reçu, fréquence maximale

Sujet officiel du concours CCINP, session 2025, épreuve Physique-chimie MPI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Modèle particulaire : un électron se déplace à la vitesse $v = v e_{x}$ par rapport à un référentiel $R^{'}$ . Dans le référentiel $R$ lié à l'électron, celui-ci émet des particules de manière isotrope dans le plan $x O y$ , avec la vitesse $v_{p}$ de norme $v_{p}$ faisant l'angle $θ$ avec $O x$ (figure 4) ; la moitié est émise dans le demi-espace $x > 0$ .

{ Figure 4 — Particules émises par l'électron, dans le référentiel $R$ .}

Q20. Avec la composition galiléenne des vitesses, exprimer et représenter la vitesse $v_{p}^{'}$ (par rapport à $R^{'}$ ) d'une particule émise dans $R$ avec $θ = π /2$ ; angle $θ^{'}$ de $v_{p}^{'}$ avec $O x$ en fonction de $v$ et $v_{p}$ ; proportion des particules émises dans le cône de demi-angle $θ^{'}$ par rapport à $R^{'}$ .
Q21. Pourquoi ce calcul ne peut-il être exact pour des photons ?

Composition relativiste (composantes parallèle et perpendiculaire à $v$ , $γ = (1 - v^{2} / c^{2})^{- 1/2}$ ) :

$v_{p ∥}^{'} = \frac{v _{p ∥} + v}{1 + \frac{v v _{p ∥}}{c ^{2}}}, v_{p ⊥}^{'} = \frac{v _{p ⊥}}{γ ( 1 + \frac{v v _{p ∥}}{c ^{2}} )} .$

Q22. En déduire que, pour un électron ultrarelativiste, la moitié du rayonnement est émise dans un cône de demi-angle $θ^{'} \approx 1/ γ$ . Calculer $θ^{'}$ pour $γ = 5, 0 \times 1 0^{4}$ ; conclure.

Le faisceau étant très peu ouvert, un observateur placé en $M$ ne reçoit le rayonnement émis que sur une portion $A_{1} A_{2}$ de la trajectoire circulaire de rayon $R$ (figure 5, angles très exagérés).

{ Figure 5 — Perception du rayonnement par un observateur $M$ : la portion $A_{1} A_{2}$ de la trajectoire.}

Q23. Longueur de la portion $A_{1} A_{2}$ en fonction de $R$ et $θ^{'}$ .
Q24. L'électron, de vitesse $v$ voisine de $c$ , passe en $A_{1}$ et $A_{2}$ aux instants $t_{1}$ et $t_{2}$ (référentiel de l'observateur). Instants $t_{1}^{'}$ et $t_{2}^{'}$ de réception en $M$ des signaux émis en $A_{1}$ et $A_{2}$ ; avec $tan θ^{'} \approx θ^{'} \approx 1/ γ$ , en déduire la durée du signal reçu $Δ t = \frac{2 R}{γ v} (1 - \frac{v}{c})$ , puis montrer que $Δ t \approx R / (c γ^{3})$ .
Q25. La fréquence associée à $Δ t$ est la fréquence supérieure $f_{m a x}$ du spectre émis : la calculer pour $R = 57 m$ et $γ = 5, 0 \times 1 0^{4}$ ; domaine du spectre électromagnétique correspondant.

Corrigé

Q20. Le référentiel $R$ de l'électron est en translation rectiligne uniforme à la vitesse $v e_{x}$ par rapport à $R^{'}$ . Composition galiléenne des vitesses :

$v_{p}^{'} = v_{p} + v = v e_{x} + v_{p} e_{y} pour θ = \frac{π}{2} .$

L'angle $θ^{'}$ que fait $v_{p}^{'}$ avec $O x$ vérifie

$tan θ^{'} = \frac{v _{p}}{v} .$

Proportion. Plus généralement, une particule émise sous l'angle $θ$ dans $R$ a pour vitesse $v_{p}^{'} = (v + v_{p} cos θ) e_{x} + v_{p} sin θ e_{y}$ , et son angle avec $O x$ croît avec $θ$ entre $0$ et $π$ dès que $v_{p} > v$ (le cas des photons, qui nous intéresse). Les particules émises vers l'avant dans $R$ ( $∣ θ ∣ < π /2$ ) sont donc exactement celles qui, dans $R^{'}$ , se trouvent dans le cône de demi-angle $θ^{'}$ : elles forment la moitié des particules émises, sans aucun calcul. Le mouvement de l'émetteur rabat ainsi vers l'avant la moitié de l'émission, dans un cône d'autant plus étroit que $v$ est grand devant $v_{p}$ . (Si $v > v_{p}$ , toutes les particules sont entraînées vers l'avant et une partie de celles émises vers l'arrière tombe aussi dans ce cône.)

Q21. Pour un photon, $v_{p} = c$ : la composition galiléenne donnerait dans $R^{'}$ une vitesse de norme $v^{2} + c^{2} > c$ . Or, d'après le postulat de la relativité restreinte, la vitesse de la lumière dans le vide vaut $c$ dans tout référentiel galiléen (expérience de Michelson et Morley). La loi galiléenne, approximation valable pour $v ≪ c$ , est fausse ici où $v$ est voisin de $c$ : le calcul précédent ne donne qu'une image qualitative du rabattement vers l'avant.

Q22. Un photon émis dans $R$ sous $θ = π /2$ a pour composantes $v_{p ∥} = 0$ et $v_{p ⊥} = c$ . Les formules relativistes donnent

$v_{p ∥}^{'} = v, v_{p ⊥}^{'} = \frac{c}{γ}, d’o u ˋ tan θ^{'} = \frac{c}{γ v} .$

100 % gratuit

La suite du corrigé est sur Adloun

Le corrigé rédigé en entier, question par question, et le tuteur pour poser des questions sur ce sujet.

Voir le corrigé complet, gratuitement

Inscription gratuite en 30 secondes (e-mail, nom d'utilisateur, mot de passe, classe ou profil), sans carte bancaire : arrivée directe sur le corrigé.

Toutes les parties de l'épreuve

Corrigé complet gratuit →