Corrigé CCINP 2025 Physique-chimie MPI — Problème I, partie V (suite) (Q30 à Q34) : Spectrométrie par transformée de Fourier : échantillonnage, TFD, script Python rfft

Suite de la partie V : la photodiode du Michelson délivre le signal $s(t)$ (interférogramme), l'épaisseur de la lame d'air croissant comme $d=v_{0}t$, $v_0=7,0\times 10^{-7}\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$. La figure 7b est l'interférogramme, enregistré pendant une minute, d'une source quasi monochromatique de longueur d'onde moyenne ${\lambda }_m$ : oscillations de période voisine de $0,4\mathrm{s}$ dont le contraste s'annule presque au bout de $60\mathrm{s}$.

Le spectre en fréquences de la source s'obtient par transformée de Fourier du signal ; pour une durée d'acquisition $T$ assez grande :

$$F(f)={\int }_0^{T}s(t){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}2\pi ft}\mathrm{d}t(2)$$

Q30. Devant quelle autre durée $T$ doit-elle être « grande » ?

Le signal est échantillonné : $t_n=nT/N$, $s_n=s(t_n)$, $n\in [[0,N-1]]$.

Q31. Fréquence d'échantillonnage $f_e$ ; justifier la discrétisation

$$F(f)\approx \sum _{n=0}^{N-1}\frac{T}{N}{s}_n{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}2\pi fnT/N}(3)$$

En Python, rfft(x) (module numpy.fft) calcule cette transformée de Fourier discrète d'un signal réel de $N$ points, sans le facteur $T/N$ ; rfftfreq(N, dt), avec $N$ pair et dt la durée entre deux échantillons, renvoie les fréquences correspondantes, équiréparties entre $0$ et $f_e/2$.

Q32. Pourquoi la liste des fréquences s'arrête-t-elle à $f_e/2$ ?

Le script fourni (importations et listes Temps, Intensité omises) définit, lignes 1 à 4 : N nombre d'éléments de Temps, a = Temps[1]-Temps[0], b = N*a, c = 1/a ; ligne 6 : signal_FFT, module de rfft(Intensité) multiplié par b/N ; ligne 7 : signal_freq = rfftfreq(N, a) ; lignes 9 à 11 : tracé de signal_FFT en fonction de signal_freq.

Q33. Que représentent a, b et c ?
Q34. L'enregistrement de la figure 7b donne le spectre de la figure 8 : en déduire ${\lambda }_m$.

{ Figure 8 — Spectre du signal de la figure 7b (pic unique, de hauteur $1,4$, vers $2,8\mathrm{Hz}$).}