Corrigé CCINP 2025 Physique-chimie MPI — Problème I, partie VI (Q35 à Q36) : Ligne de lumière DESIRS : pouvoir de résolution, énergie d'ionisation du krypton

Sujet officiel du concours CCINP, session 2025, épreuve Physique-chimie MPI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Le rayonnement de l'anneau est conduit sous vide jusqu'aux stations expérimentales (lignes de lumière, figure 1). La ligne DESIRS utilise un rayonnement ultraviolet de longueur d'onde comprise entre $30$ et $200 nm$ . Dans un spectromètre d'absorption, l'échantillon est placé entre une source de spectre large et connu et l'interféromètre ; on reconstitue, comme dans la partie V, le spectre de la lumière qui a traversé l'échantillon. La figure 9 est le spectre d'absorption du krypton obtenu sur DESIRS, en fonction du nombre d'onde $σ = 1/ λ$ (en $c m^{- 1}$ ), avec deux agrandissements successifs. Données : $h = 6, 6 \times 1 0^{- 34} J \cdot s$ , $c = 3, 0 \times 1 0^{8} m \cdot s^{- 1}$ , $1 eV = 1, 6 \times 1 0^{- 19} J$ .

{ Figure 9 — Spectre d'absorption du krypton : vue d'ensemble, puis agrandissements de $112780$ à $112940 c m^{- 1}$ (pointillés du haut) et de $112840$ à $112865 c m^{- 1}$ (repères du milieu).}

Q35. Estimer le pouvoir de résolution $P R = λ / δ λ$ du spectromètre ( $δ λ$ : plus petit écart de longueur d'onde mesurable autour de $λ$ ) ; le comparer à celui d'un prisme de lycée, qui sépare juste les deux raies jaunes du sodium, pour lesquelles le sujet donne $δ λ_{Na} = 6 nm$ .
Q36. L'absorption d'un photon augmente l'énergie d'un électron externe du krypton, qui n'est plus lié au noyau au-delà d'une certaine énergie. Estimer, à l'aide de la figure 9, l'énergie de première ionisation du krypton, en $eV$ ; expliquer sa valeur élevée.

Corrigé

Q35. Comme $σ = 1/ λ$ , $∣ d σ ∣ / σ = ∣ d λ ∣ / λ$ : le pouvoir de résolution s'écrit indifféremment

$P R = \frac{λ}{δ λ} = \frac{σ}{δ σ},$

où $δ σ$ est le plus petit écart de nombre d'onde que le spectromètre sépare. On le lit sur l'agrandissement le plus fort de la figure 9 : les raies, distantes d'environ $3 c m^{- 1}$ , sont parfaitement séparées, et chacune est même accompagnée d'une composante plus faible, décalée de $0, 35 c m^{- 1}$ pour les raies de gauche et d'environ $0, 2 c m^{- 1}$ pour celles de droite, encore distinguée ; la largeur d'un creux est de l'ordre de $0, 1 c m^{- 1}$ . On retient

$δ σ \approx 0, 2 c m^{- 1}, σ \approx 1, 13 \times 1 0^{5} c m^{- 1} ⟹ P R \approx \frac{1 , 13 \times 1 0 ^{5}}{0 , 2} \approx 6 \times 1 0^{5} .$

Seul l'ordre de grandeur a un sens : selon que l'on retient $0, 1$ ou $0, 35 c m^{- 1}$ , $P R$ va de $3 \times 1 0^{5}$ à $1 \times 1 0^{6}$ . (Ces raies sont à $λ = 1/ σ \approx 89 nm$ , dans l'ultraviolet lointain, au milieu de la gamme de DESIRS.)

Ce résultat est cohérent avec le principe de la partie V : la résolution en fréquence d'une transformée de Fourier sur une durée $T$ est $1/ T$ ; avec $f = 2 v_{0} σ$ (Q34), elle correspond à $δ σ = 1/ (2 v_{0} T) = 1/ δ_{m a x}$ , où $δ_{m a x} = 2 v_{0} T$ est la plus grande différence de marche explorée. Résoudre $0, 2 c m^{- 1}$ demande $δ_{m a x} \approx 5 cm$ , soit un déplacement du miroir de quelques centimètres : c'est la course du miroir qui fixe la résolution.

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