Corrigé CCINP 2025 Physique-chimie MPI — Problème II, partie I (Q37 à Q41) : Batterie au plomb : isotopes, réactions, force électromotrice, masse oxydée, énergie massique

Sujet officiel du concours CCINP, session 2025, épreuve Physique-chimie MPI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Le problème étudie les batteries de voiture (une batterie est un ensemble d'accumulateurs). Figure 10 : photographie d'une batterie au plomb commerciale, dont l'étiquette porte « $40 Ah$ $12 V$ » (et « $330 A$ (EN) », son courant de démarrage). Résultats numériques avec un seul chiffre significatif.

Plomb	$M (Pb) = 207, 2 g \cdot mo l^{- 1}$ (masse molaire moyenne)
Constante de Faraday	$F = e N_{A} = 96500 C \cdot mo l^{- 1}$
Potentiel standard à $2 5^{\circ} C$	$E_{1}^{\circ} (PbSO X_{4} (s) / Pb (s)) = - 0, 35 V$
Potentiel standard à $2 5^{\circ} C$	$E_{2}^{\circ} (PbO X_{2} (s) / PbSO X_{4} (s)) = 1, 69 V$
À $298 K$	$\frac{R T}{F} ln 10 \approx 0, 06 V$

Q37. Les isotopes stables $X_{204} X_{2}^{2204} Pb$ , $X_{206} X_{2}^{2206} Pb$ , $X_{207} X_{2}^{2207} Pb$ , $X_{208} X_{2}^{2208} Pb$ sont présents à $x %$ , $y %$ , $22%$ et $52%$ . Définir le mot isotope ; équations permettant de calculer $x$ et $y$ (sans les résoudre).

Un élément de batterie :

$(-) Pb (s), SO X_{4} X^{2 -} (aq) ∣ PbSO X_{4} (s) ∣ H X_{2} SO X_{4} (aq) ∣ \dots \dots ∣ PbSO X_{4} (s) ∣ PbO X_{2} (s), SO X_{4} X^{2 -} (aq), H X^{+} (aq) ∣ Pb (s) (+)$

électrode négative en plomb, électrode positive en dioxyde de plomb (le plomb n'y est qu'un support conducteur), plongeant dans une solution concentrée d'acide sulfurique en présence de sulfate de plomb solide.

Q38. Demi-réactions anodique (1) et cathodique (2) relatives au plomb ; équation-bilan de la décharge.
Q39. Force électromotrice $e$ d'un élément, avec $[H X^{+}]^{2} [SO X_{4} X^{2 -}] / (C^{\circ})^{3} = 100$ , $C^{\circ} = 1 mol \cdot L^{- 1}$ ; nombre d'éléments et mode d'association pour une batterie de $12 V$ .
Q40. Capacité $Q = 40 A \cdot h$ (charge que l'on peut extraire de la batterie) : masse de plomb oxydée pour une décharge à $50%$ .
Q41. Énergie massique $w$ , en $W \cdot h \cdot k g^{- 1}$ , de la batterie de la figure 10, de masse $m = 9, 8 kg$ .

Corrigé

Q37. Des isotopes sont des atomes (ou nucléides) d'un même élément, donc de même numéro atomique $Z$ (même nombre de protons), qui diffèrent par leur nombre de neutrons, donc par leur nombre de masse $A$ . Ils ont les mêmes propriétés chimiques.

La somme des abondances vaut $100%$ :

$x + y + 22 + 52 = 100.$

La masse molaire moyenne est la moyenne des masses molaires des isotopes, pondérée par leurs abondances. La masse molaire d'un isotope vaut, en $g \cdot mo l^{- 1}$ , son nombre de masse $A$ à mieux que $0, 1%$ près (la masse d'un nucléon est voisine de $1 g \cdot mo l^{- 1}$ ; on néglige les électrons et l'énergie de liaison) :

$\frac{204 x + 206 y + 207 \times 22 + 208 \times 52}{100} = 207, 2.$

Ces deux équations linéaires déterminent $x$ et $y$ . Ce que le correcteur attend : savoir que la masse molaire d'un isotope vaut à peu près $A g \cdot mo l^{- 1}$ ; c'est ce qui a le plus manqué aux candidats.

Q38. À la décharge, la batterie fonctionne en pile : l'oxydation (anode) a lieu à l'électrode négative, la réduction (cathode) à l'électrode positive. En milieu sulfurique, le plomb(II) est sous forme de sulfate de plomb solide $PbSO X_{4} (s)$ , très peu soluble.

Demi-réaction anodique (1), à l'électrode de plomb (oxydation du plomb de 0 à $+ II$ ) :

$Pb (s) + SO X_{4} X^{2 -} (aq) PbSO X_{4} (s) + 2 e X^{-} .$

Demi-réaction cathodique (2), à l'électrode de dioxyde de plomb (réduction du plomb de $+ IV$ à $+ II$ ) :

$PbO X_{2} (s) + 4 H X^{+} (aq) + SO X_{4} X^{2 -} (aq) + 2 e X^{-} PbSO X_{4} (s) + 2 H X_{2} O (l) .$

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