Corrigé CCINP 2025 Physique-chimie PSI — Partie I (Q1 à Q10) : Isolation thermique : loi de Fourier, résistances thermiques d'un double vitrage et d'une pièce chauffée

Sujet officiel du concours CCINP, session 2025, épreuve Physique-chimie PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

I.1 Paroi plane.

Une paroi d'épaisseur $e_{0}$ et de surface $S_{0}$ (figure 1), de masse volumique $ρ$ , de capacité thermique massique $c$ et de conductivité thermique $λ$ , a une température qui ne dépend que de $x$ (effets de bord négligés) : $T (0) = T_{1}$ et $T (e_{0}) = T_{2}$ .

{Figure 1 — Paroi plane}

Q1. Loi de Fourier : notations et unités.
Q2. Sans source interne, établir l'équation de la diffusion thermique.
Q3. Profil stationnaire $T (x)$ en fonction de $e_{0}$ , $T_{1}$ , $T_{2}$ .
Q4. Flux stationnaire $Φ$ orienté selon $x > 0$ ; résistance thermique $R_{t h}$ en fonction de $e_{0}$ , $λ$ , $S_{0}$ .

I.2 Double vitrage.

Deux verres d'épaisseur $e$ (conductivité $λ_{V}$ , zones $0 ⩽ x ⩽ e$ et $2 e ⩽ x ⩽ 3 e$ ) encadrent une couche d'argon statique d'épaisseur $e$ (conductivité $λ_{A r} ≪ λ_{V}$ ), surface $S_{f}$ (figure 2). Échange conducto-convectif verre-air (loi de Newton) : $P = h S_{f} (T_{ai r} - T_{s})$ , avec $h_{e}$ côté extérieur (air à $T_{e x t}$ , verre à $T_{S e x t}$ en $x = 0$ ) et $h_{i}$ côté intérieur (air à $T_{in t}$ , verre à $T_{S in t}$ en $x = 3 e$ ).

{Figure 2 — Fenêtre double vitrage de surface $S_{f}$ }

Q5. Schéma électrique équivalent en régime stationnaire, résistances exprimées, températures $T_{e x t}$ , $T_{in t}$ , $T_{S e x t}$ , $T_{S in t}$ placées.
Q6. Avec $T_{e x t} < T_{in t}$ , choisir sans justification le bon profil de la figure 3.

{Figure 3 — Profils de température}

I.3 Pièce d'habitation.

La pièce, de température uniforme, perd de l'énergie par un mur avec fenêtre et par un plafond de surface $S_{p} = 10 m^{2}$ , au contact de l'extérieur à $T_{e x t} = 274 K$ ; $R_{1}$ : résistance thermique de l'ensemble. Partant de $T_{e x t}$ , un radiateur de puissance $P = 500 W$ porte la pièce à la température finale $T_{f in} = 294 K$ .

Q7. Valeur de $R_{1}$ .
Q8. Avec la capacité thermique $C$ de la pièce, équation différentielle de $T (t)$ dans l'ARQS, puis $T (t)$ en fonction de $T_{e x t}$ , $T_{f in}$ , $R_{1}$ , $C$ .
Q9. Plafond : $e_{p} = 5 cm$ , $λ_{p} = 0, 1$ SI. Valeur de $R_{pl}$ ; expression et valeur de la résistance $R_{m f}$ de l'ensemble mur-fenêtre ; par où les pertes sont-elles les plus fortes ?
Q10. On ajoute au plafond un isolant ( $e_{i so l}$ , $λ_{i so l}$ ) : nouvelle résistance $R_{pl}^{'}$ ; la résistance totale devenant $R_{2} = 0, 12 K \cdot W^{- 1}$ , par quel facteur les pertes sont-elles divisées ?

Corrigé

Q1. La loi de Fourier (loi phénoménologique linéaire de la conduction thermique) relie le vecteur densité de flux thermique au gradient de température :

$j_{Q} = - λ grad T ici j_{Q} = - λ \frac{\partial T}{\partial x} e_{x} .$

$j_{Q}$ : vecteur densité de flux thermique, en $W \cdot m^{- 2}$ ; la puissance thermique traversant une surface $d S$ orientée par $n$ est $j_{Q} \cdot n d S$ ;
$T$ : température (champ scalaire), en $K$ ; $grad T$ en $K \cdot m^{- 1}$ ;
$λ > 0$ : conductivité thermique du matériau (scalaire), en $W \cdot m^{- 1} \cdot K^{- 1}$ .

Le signe $-$ traduit que l'énergie s'écoule des zones chaudes vers les zones froides. Ce que le correcteur attend : un vecteur égalé à un vecteur (pas de « $j = - λ grad T$ » avec $j$ scalaire).

Q2. Système : la tranche fixe de paroi comprise entre $x$ et $x + d x$ , de section $S_{0}$ (volume $S_{0} d x$ , masse $ρ S_{0} d x$ ), solide indéformable, sans source interne. Premier principe entre $t$ et $t + d t$ (pas de travail) : la variation d'énergie interne est égale au transfert thermique reçu, c'est-à-dire au flux entrant en $x$ moins le flux sortant en $x + d x$ :

$ρ c S_{0} d x [T (x, t + d t) - T (x, t)] = [j_{Q} (x, t) - j_{Q} (x + d x, t)] S_{0} d t,$

soit, au premier ordre, $ρ c \frac{\partial T}{\partial t} = - \frac{\partial j _{Q}}{\partial x}$ . Avec la loi de Fourier $j_{Q} = - λ \frac{\partial T}{\partial x}$ ( $λ$ uniforme) :

$\frac{\partial T}{\partial t} = D \frac{\partial ^{2} T}{\partial x ^{2}} avec D = \frac{λ}{ρ c} (diffusivit e ˊ thermique, en m^{2} \cdot s^{- 1}) .$

Q3. En régime stationnaire, $\frac{d ^{2} T}{d x ^{2}} = 0$ : le profil est affine, $T (x) = A x + B$ . Les conditions $T (0) = T_{1}$ et $T (e_{0}) = T_{2}$ donnent

$T (x) = T_{1} + (T_{2} - T_{1}) \frac{x}{e _{0}}$

Q4. La densité de flux est uniforme : $j_{Q} = - λ \frac{d T}{d x} = λ \frac{T _{1} - T _{2}}{e _{0}}$ . Le flux à travers la surface $S_{0}$ orientée selon $+ e_{x}$ vaut

$Φ = \frac{λ S _{0}}{e _{0}} (T_{1} - T_{2})$

Par analogie avec la loi d'Ohm (température $\leftrightarrow$ potentiel, flux thermique $\leftrightarrow$ intensité), on définit $R_{t h}$ par $T_{1} - T_{2} = R_{t h} Φ$ :

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